I 권
정의
정의 1
'점'은 쪼갤 수 없는 것이다.
애플릿
부연설명
유클리드 원론에는 '점은 부분이 없는 것이다.'라고 되어 있다.이는 카펠라(Martianus Capella, AD 5.)가 "점이란 그 부분이 아무것도 없는 것이다"라고 번역을 하였다. 이러한 해석은 점은 부분이 없으면 전체도 없게 되 점 자체는 아예 아무것도 없다라고 할 수 있다.
'점'의 정의에서 '쪼갤 수 없다'의 의미는 넓이는 없고 단지 위치만 있으며 차원이 없는 0차원 대상이다. 길이, 폭, 두께 등 3차원의 기하적 크기는 입체(내부가 차있는 고체 도형)의 부피이고, 길이와 폭 등 2차원의 기하적 크기는 표면의 넓이이며, 1차원의 기하적 크기는 선의 길이이다. 그러나 점은 입체도 아니고, 표면도 아니고, 선도 아니다. 따라서 점은 차원이 없어 기하적 크기가 없다. 즉, 길이, 너비, 두께가 없다.
지금은 '점'을 아예 정의를 하지 않는 '무정의 용어'로 사용하고 있다. 즉, 정의 자체를 하지 않고 사용한다. 힐버트 공리계에서 무정의 용어를 제안하였다.
생각해 보기
유클리드 ‘원론’은 오랫동안 가장 모범적인 수학 교과서였다. 그러나 완벽한 것은 없는 법 훗날 ‘극한’ 개념이 확립되면서 부족한 부분이 발견되었다. 힐베르트는 1899년 저서 «기하의 바탕(Grundlagen der Geometrie : The Foundations of Geometry)»에서 유클리드 기하를 현대적으로 다루기 위해 부족한 공리를 채울 것을 제안하였다.
처음에 공리 21개를 제안했지만 후에 무어가 다른 공리로 공리 하나를 증명하여 오늘날에는 20개 공리가 남아 있다. 세 가지 기본 용어로 점(point), 선(line), 면(plane)과 세 가지 기본 관계 사이(Betweenness), 놓여 있다.(Lies on), 합동(Congruence)을 무정의 용어로 사용하고 있다.
참고문헌:https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
수학에서 사용되는 용어들을 정의에 따라 계속 거슬러 올라가다 보면 가장 기초적인 용어가 나오게 되는데 이 가장 기초에 있는 용어는 하나로 정의내리지 않고, 공리를 통해 그저 받아들이게 된다. 이것을 무정의 용어라고 말한다. 예를 들어 정삼각형을 통해 무정의 용어를 찾아보면, 우선 정삼각형의 정의는 세 변의 길이가 같은 삼각형이다. 그렇다면 삼각형의 정의를 찾게 되고 그 다음 선분의 정의를 찾으면 마지막으로 점이 나온다. 점은 따로 정의가 없는 공리이다. 이렇게 다른 용어의 정의에 기초가 되는 용어를 무정의 용어라고 한다.
용어를 정의하기 위해서 다른 단어를 사용하면 사용한 다른 단어를 사용할 수밖에 없다. 그래서 사용된 단어를 계속해서 새로운 단어를 이용하여 이를 설명할 밖에 없어 무한히 정의를 하다가 인생을 마칠 것이다. 인생은 유한 하니 따라서 어느 순간은 이를 멈추어야 한다. 이것이 무정의 용어가 필요한 이유일 것이다.
참고문헌:https://www.scienceall.com/%EB%AC%B4%EC%A0%95%EC%9D%98-%EC%9A%A9%EC%96%B4undefined-term/