I 권
명제
주어진 세 선분에 대하여 임의의 두 선분의 길이의 합이 나머지 한 선분의 길이보다 길 때, 이와 같은 길이를 변으로 하는 삼각형을 작도 할 수 있다.
주어진 세 개의 선분 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이의 합이 나머지 길이 보다 크면, 즉 \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)이면 세 변의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 삼각형을 작도 할 수 있다.
주어진 세 개의 선분 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이의 합이 나머지 길이 보다 크다. 즉 \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)이다.
그러면, 세 변의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 삼각형을 작도 할 수 있음을 보이자.
세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)이고, \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(c+a>b\)이라고 하자.
직선 \(\rm AB\)를 그리고 점 \(\rm A\)를 끝점으로 하고 \(\overline{\rm AC}=a\)인 직선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm C\)를 잡고, \(\overline{\rm CD}=b\)인 직선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm D\)를 잡자. [I권 공리 2, 명제 3]
점 \(\rm C\)를 중심으로 하고 반지름이 \(a\)인 원 \(c_1\)과 점 \(\rm D\)를 중심으로 하고 반지름이 \(c\)인 원 \(c_2\)를 작도하자. [I권 공리 3]
이 때, 두 원의 교점을 \(\rm E\), \(\rm F\)라 하고 이 중 한 점 \(\rm E\)에서 두 선분 \(\rm EC\), \(\rm ED\)를 작도하자. [I권 공리1]
작도된 삼각형 \(\rm ECD\)의 세 변의 길이는 점 \(\rm C\)는 원 \(c_1\)의 중점이므로 \(\overline{\rm EC}=a\), 점 \(\rm D\)는 원 \(c_2\)의 중점이므로 \(\overline{\rm ED}=c\)이다. 그리고 \(\overline{\rm CD}=b\)이다. [I권 정의 16, 일반상식 1]
그러므로 삼각형 \(\rm ECD\)의 세변의 길이가 \(\overline{\rm EC}=a\), \(\overline{\rm ED}=c\), \(\overline{\rm CD}=b\)이다.
그러므로 주어진 세 선분에 대하여 임의의 두 선분의 길이의 합이 나머지 한 선분의 길이보다 길 때, 이와 같은 길이를 변으로 하는 삼각형을 작도 할 수 있다.
Q.E.D.
명제의 증명에서 ‘따라서 두 직선의 합계가 나머지 직선의 합보다 커야 한다.’는 문장은 삼각형 부등식 [I권 명제20]을 가리킨다. 이 조건은 필요조건이고 충분조건이지만 유클리드는 그 충분조건임을 증명하지 못하였다.
아마도 유클리드(혹은 나중의 일부 해설자)는 이 명제를 가정한 것으로 생각했을 것이다. 그러한 증명의 전체 문구는 ‘두 원의 반지름 합계가 중심을 공유하는 선분보다 크고, 한 반지름과 중심을 연결하는 선분의 합이 다른 반지름보다 크면 두 원이 교차한다.’라고도 할 수 있다.