I 권
명제
주어진 두 삼각형의 두 밑변의 길이가 같고 일직선 상에 있으며, 같은 영역에 있는 넓이가 같으면, 두 삼각형의 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DCE\)에서 각각의 밑변인 변 \(\rm BC\)와 변 \(\rm CE\)가 한 직선 위에 있고 그 길이가 같고, 넓이가 같으면 두 삼각형의 각각의 꼭지점 \(\rm A\)와 \(\rm D\)가 한 직선 위에 있다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DCE\)에서 각각의 밑변인 변 \(\rm BC\)와 변 \(\rm CE\)가 한 직선 위에 있고 그 길이가 같고, 넓이가 같다.
그러면, 두 삼각형의 각각의 꼭지점 \(\rm A\)와 \(\rm D\)가 한 직선 위에 있다.
두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DCE\)의 세 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm E\)가 일직선 상에 있고, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm CE}\)이고 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DCE\) 넓이)이라고 하자.
선분 \(\rm AD\)를 그려라. [I권 공리 1]
그러면 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)가 평행함을 보여야 한다.( \(\rm AD \parallel\rm BC\) )
선분 \(\rm CD\)를 그리고, 선분 \(\rm CD\) 위의 점 \(\rm F\)를 점 \(\rm A\)를 지나고 두 선분 \(\rm BE\)와 \(\rm AF\)가 평행하도록( \(\rm BE \parallel\rm AF\) ) 잡고 선분 \(\rm AF\)와 선분 \(\rm FE\)를 그리자. [I권 명제 31, 공리 1]
그러면, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm FCE\)에서 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm CE}\)이고 두 선분 \(\rm BE\)와 \(\rm AF\)는 평행하므로 ( \(\rm BE \parallel\rm AF\) ) 이다. [I권 명제 38]
또한 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DCE\) 넓이)이므로 (삼각형 \(\rm FCE\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DCE\) 넓이)이다. [I권 일반상식 1]
그러나 (삼각형 \(\rm FCE\) 넓이)\( >\)(삼각형 \(\rm DCE\) 넓이)에 모순이다. 그러므로 두 선분 \(\rm BE\)와 \(\rm AF\)가 평행하지 않다. ( \(\rm BE \not\parallel\rm AF\) )
같은 방법으로 선분 \(\rm D\)를 제외한 어떤 직선도 선분 \(\rm BC\)에 평행일 수 없다.
그러므로 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)는 평행하다.( \(\rm AD\parallel\rm BC\) )
그러므로 주어진 두 삼각형의 두 밑변의 길이가 같고 일직선 상에 있으며, 같은 영역에 있는 넓이가 같으면, 두 삼각형의 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있다.
Q.E.D.
이 명제의 증명과 가정은 유클리드 표준에 맞지 않는다. 이것은 [I권 명제 38]의 역이라고 생각된다. 명제에는 두 밑변이 한 직선에 있어야 한다고 가정하지만 그렇지 않아도 된다. 점 \(\rm C\)가 두 삼각형의 공통점이라고 가정할 만한 근거는 없다. 다행스럽게도 공통점 \(\rm C\)가 두 개의 점으로 나뉘어있는 경우에도 증명을 하여야 한다. 원론의 일부 명제와 다수의 명제와 추론에 대해서는 유클리드가 기록하지 않았지만 나중에 추가되었다는 증거가 있다. 교과서에 새로운 자료를 통합하는 과정은 책을 인쇄을 하던 이전 시대에 손으로 필사를 할 때 이루어졌다. 학자들은 본문의 여백에 주석(‘scholia’, 단수로 ‘scholium’)을 썼고, 필사자(일부 학자)는 새로운 필사본에 그 주석을 텍스트의 일부로 포함시키었다.
하이베르그(ohan Ludvig Heiberg, 1854-1928)는 초기 파피루스 일부에 기록된 것을 통해 이 명제가 초기 보간법임을 보였다. [I권 명제 37]과 같은 직접적인 증거가 없으며, 다른 사람들은 유클리드와 같은 수학에 정통한 수학자들이 이러한 것을 포함했을 것이라는 의심만을 하고 있다.
제 I 권의 다른 명제들과는 달리 이 명제는 이 후의 명제들에서 사용되지 않았다.