I 권
명제
주어진 두 평행사변형의 밑변이 같고, 두 윗변이 같은 직선 위에 있으면 이 두 평행사변형의 넓이는 같다.
주어진 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)가 같은 밑변 \(\rm BC\)를 갖고 같은 평행선 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm EF\)가 일직선 상에 있으면, 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)의 넓이는 같다.
주어진 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)가 같은 밑변 \(\rm BC\)를 갖고 같은 평행선 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm EF\)가 일직선 상에 있다.
그러면, 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)의 넓이가 같다는 것을 보이자.
사각형 \(\rm ABCD\)가 평행사변형이기 때문에 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BC}\)이다. [I권 명제34]
같은 논리로 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm BC}\)이다. 따라서 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm EF}\)이다. [I권 일반상식 1]
위의 식에 \(\overline{\rm DE}\)를 공통으로 양변에 더하면 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm DF}\)그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DC}\)이다. [I권 일반상식 2]
그러므로 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm FD}\)이고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DC}\) 그리고 각 \(\rm FDC\)와 각 \(\rm EAB\)은 외각과 내각이라서 \(\angle\rm FDC=\angle\rm EAB\)이다. [I권 명제 29, 명제 34]
따라서 밑변 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm FC}\)이고 삼각형 \(\rm EAB\)는 삼각형 \(\rm DFC\)는 같다.(\(\triangle\rm EAB=\triangle\rm DFC\)) [I권 명제4]
두 삼각형에서 삼각형 \(\rm DGE\)를 제거해보자.
(사각형 \(\rm ABGD\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EAB\) 넓이)\(-\)(삼각형 \(\rm GED\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DCF\) 넓이)\(-\)(삼각형 \(\rm GED\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm EGCF\) 넓이)
따라서
(사각형 \(\rm ABGD\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm GBC\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm CFEG\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm GBC\) 넓이)
(사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm EBCF\) 넓이)
이다. 그러므로 두 평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이와 \(\rm EBCF\)의 넓이는 같다.
그러므로 주어진 두 평행사변형의 밑변이 같고, 두 윗변이 같은 직선 위에 있으면 이 두 평행사변형의 넓이는 같다.
Q.E.D.
유클리드의 증명은 삼각형의 뺄셈이 필요한 점 \(\rm A\)와 점 \(\rm E\) 사이에 점 \(\rm D\)가 있는 경우를 구체적으로 다룬다. 예를 들어, 점 \(\rm E\)가 점 \(\rm A\)와 \(\rm D\) 사이에 있을 때 고려해야 할 다른 경우가 있다. 이 경우 교점 \(\rm G\)는 사용이 되지 않으며 사다리꼴 \(\rm BCED\)는 결론을 유도하기 위해 삼각형 \(\rm ABE\)와 \(\rm DCF\)에 추가할 수 있다. 유클리드는 종종 단 하나의 경우에 대해 증명을 보이지만, 때때로 두세 가지 경우에 대한 증명도 보인다.
유클리드는 수를 빼고 더하는 과정으로 측정을 어떻게 하는지 볼 수 있다. 유클리드는 두 삼각형 \(\rm EAB\)와 \(\rm FDC\)는 합동이라는 것을 직접 증명하였다. 그런 다음 각각에 포함 된 삼각형 \(\rm DEG\)를 각각 빼고 나머지 사다리꼴 \(\rm ABGD\)와 \(\rm EGCF\)가 같다고 결론을 내린다. 이 사다리꼴은 합동이지는 않지만 넓이가 같다. 다음으로 삼각형 \(\rm GBC\)를 각 사다리꼴에 추가하여 두 개의 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EBCF\)가 같다는 결론을 내린다. 이것들은 유클리드가 원론 I권의 앞부분에서 선과 각도에 사용했던 것과 같은 종류의 잘라내기와 붙여 넣는 것을 직선에서 적용하였다. 원론 후반부에서 잘라내기 및 붙여 넣는 것은 입체도형 및 원호와 같은 다른 종류의 크기에도 적용하였다.