I 권
명제
주어진 삼각형과 주어진 각에 대하여, 한 내각이 주어진 각과 같고 삼각형 넓이와 같은 평행사변형을 작도 할 수 있다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm D\)에 대하여, 삼각형 \(\rm ABC\)의 넓이와 같고 각 \(\rm D\)를 가지는 평행사변형을 작도 할 수 있다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm D\)가 있다.
그러면, 삼각형 \(\rm ABC\)의 넓이와 같고 각 \(\rm D\)를 가지는 평행사변형을 작도 할 수 있음을 보이자.
삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm BC\)를 이등분하는 점을 \(\rm E\)라 하자. [I권 명제 10] 선분 \(\rm AE\)를 그리자. [I권 공리 1] 각 \(\rm CEF\)의 한 변이 \(\rm CE\) 위에 있으며 \(\angle\rm CEF=angle\rm D\)인 점 \(\rm A\)를 지나며 선분 \(\rm EC\)와 평행한 선분 위의 점 \(\rm F\)를 잡자. [I권 명제 23] \(\cdots\cdots\)① 점 \(\rm A\)를 지나고 선분 \(\rm EC\)에 평행한 선분 \(\rm AG\)를 그리고, 점 \(\rm C\)를 지나고 선분 \(\rm EF\)에 평행한 선분 \(\rm CF\)를 그리자. [I권 명제 31]
그러면 사각형 \(\rm FECG\)는 평행사변형이다.
\(\overline{\rm BE}=\overline{\rm EC}\)이므로 (삼각형 \(\rm ABE\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm AEC\) 넓이)이다. [I권 명제 38] 또한 두 밑변 \(\rm BE\), \(\rm EC\)은 일직선 상에 있고, 두 선분 \(\rm BC\), \(\rm AG\)는 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm AG}\)이므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=2\cdot\)(삼각형 \(\rm AEC\) 넓이)이다.
한편, 평행사변형 \(\rm FECG\)와 삼각형 \(\rm ADC\)는 변 \(\rm EC\)를 공통 밑변으로 가지고 두 변 \(\rm EC\)와 \(\rm FG\)는 평행하므로 (사각형 \(\rm FECG\) 넓이)\(=2\cdot\)(삼각형 \(\rm ADC\) 넓이)이다. [I권 명제 41] 따라서 (사각형 \(\rm FECG\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ABC\)가 성립한다. [I권 일반상식 1]
또한, ①에 의해 평행사변형 \(\rm FECG\)는 그것의 한 각 \(\rm CEF\)과 주어진 각 \(\rm D\)와는 \(\angle\rm CEF=\angle\rm D\)이다.
그러므로 평행사변형 \(\rm FECG\)는 \(\angle\rm CEF=\angle\rm D\)이고 주어진 삼각형 \(\rm ABC\)와 넓이가 같다.
그러므로 주어진 삼각형과 주어진 각에 대하여, 한 내각이 주어진 각과 같고 삼각형 넓이와 같은 평행사변형을 작도 할 수 있다.
Q.E.D.
작도의 아이디어는 다음과 같다. 먼저 주어진 삼각형의 절반 크기의 삼각형을 작도하여아라. 그런 다음 절반 크기의 삼각형을 기울여서 같은 넓이가 같고 주어진 각과 같은 각으로 기울인다. 절반 크기의 삼각형으로 평행사변형을 작도한다. 이것이 한 내각이 주어진 각과 같고 삼각형 넓이와 같은 평행사변형이다.
이 명제와 함께 유클리드는 넓이에 대한 연구 즉 넓이의 응용의 다음 단계로 넘어간다. 그 전에 유클리드는 삼각형이나 평행사변형의 넓이가 같거나 삼각형이 평행사변형의 넓이의 절반을 가질 때의 다양한 성질을 증명하였다. 그러나 이제 그는 주어진 도형의 넓이와 같은 다른 도형을 만드는 데 관심이 있었다.
이 명제에서, 유클리드는 주어진 각과 주어진 삼각형과 같은 넓이를 갖는 평행사변형을 작도하였다. 그러나 그의 목표는 [I권 명제 45]의 넓이에 적용하고 [II권 명제 14]에 구적법(넓이를 구하는 방법)에 적용하는 것이다. [I권 명제 45]에서, 직선으로 된 도형과 각이 주어지면 같은 방향의 영역에서 넓이가 같고 한 내각이 주어진 각과 같은 평행사변형이 작도된다. 이러한 종류의 작도를 같은 영영에 넓이를 ‘적용한다.’고 한다. 이 지역은 선을 따라 놓여 있습니다. 유클리드 이전에는 넓이가 항상 선분으로 둘러싸인 직사각형에 적용되었지만 유클리드는 평행사변형으로 작도로 일반화했을 수 있다. 이 특별한 일반화는 자주 사용되지 않는다.
나중에, [II권 명제 14]에서 선분으로 만들어진 주어진 도형의 넓이와 같은 정사각형을 작도하는 것이다. 이 정사각형은 넓이를 측정하는 표준이 된다.