I 권
명제
두 직선이 만나 만들어지는 맞꼭지각들은 크기가 서로 같다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나 만들어지는 맞꼭지각 \(\rm DEA\)와 \(\rm CEB\)의 크기가 같고 맞꼭지각 \(\rm AEC\)와 \(\rm BED\)의 크기도 같다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만난다.
그러면, 맞꼭지각 \(\rm DEA\)와 \(\rm CEB\)의 크기가 같고 맞꼭지각 \(\rm AEC\)와 \(\rm BED\)의 크기도 같음을 보이자.
두 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 만나는 교점을 점 \(\rm E\)라고 하자. 그러면 맞꼭지각 \(\rm AEC\), \(\rm BED\)와 \(\rm DEA\), \(\rm CEB\)가 만들어진다.
그러면 \(\angle\rm AEC+\angle\rm DEA=180^{\circ}\)이고 \(\angle\rm DEA+\angle\rm BED=180^{\circ}\)이다. [I권 명제13]
따라서 \(\angle\rm AEC+\angle\rm DEA=\angle\rm DEA+\angle\rm BED\)이다. [I권 공리4, I권 상식 1]
양변에 각 \(\angle\rm DEA\)를 빼면 \(\angle\rm AEC+\angle\rm DEA-\angle\rm DEA=\angle\rm DEA+\angle\rm BED-\angle\rm DEA\)이다. 따라서 \(\angle\rm AEC=\angle\rm BED\)이다. [I권 상식3]
같은 방법으로 \(\angle\rm CEB=\angle\rm DEA\)임을 보일 수 있다.
그러므로 두 직선이 만나 만들어지는 맞꼭지각들은 크기가 서로 같다.
Q.E.D.
두 직선이 만나서 만들어지는 네 각의 크기를 모두 더한 것은 네 개의 직각을 더한 것과 같다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나 만들어지는 네 각 \(\rm DEA\), \(\rm CEB\), \(\rm AEC\),\(\rm BED\)의 크기의 모든 합은 \(360^{\circ}\)이다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만난다.
그러면, 네 각 \(\rm DEA\), \(\rm CEB\), \(\rm AEC\),\(\rm BED\)의 크기의 모든 합이 \(360^{\circ}\)임을 보이자.
두 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 만나는 교점을 점 \(\rm E\)라고 하자. 그러면 맞꼭지각 \(\rm AEC\), \(\rm BED\)와 \(\rm DEA\),\(\rm CEB\)가 만들어진다.
그러면 \(\angle\rm AEC+\angle\rm DEA=180^\circ\)이고 \(\angle\rm DEA+\angle\rm CEB=180^\circ\)이다. [I권 명제13]
따라서 \(\angle\rm AEC+\angle\rm DEA+\angle\rm DEA+\angle\rm CEB=180^\circ+180^\circ=360^\circ\)이다. [I권 상식 1]
그러므로 두 직선이 만나서 만들어지는 네 각의 크기를 모두 더한 것은 네 개의 직각을 더한 것과 같다.
Q.E.D.
맞꼭지각(vertical angle)이라는 용어는 I권에서는 정의 되어 있지 않지만, 그 의미는 이 명제에서 사용된 형태로 보아 명확하게 알 수 있다. ‘맞꼭지각은 교차하는 두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 한 쌍의 교각 중 서로 이웃하지 않는 각이다.’
프로클로스(Proclus, 412-485)는 또 다른 따름 명제를 추가하였다.
한 점에서 여러 개의 직선이 서로 교차하여서 만들어진 모든 각의 합은 4개의 직각(\(360^{\circ}\))과 같다.