I 권
명제
주어진 평행사변형의 넓이는 밑변을 공유하고 꼭짓점이 밑변과 마주보는 대변 위에 있는 삼각형의 넓이의 두 배이다.
삼각형 \(\rm EBC\)는 주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 선분 \(\rm BC\)를 밑변으로 하고 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm AE\)가 평행하면 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 넓이는 삼각형 \(\rm EBC\)의 넓이의 \(2\)배이다.
삼각형 \(\rm EBC\)는 주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 선분 \(\rm BC\)를 밑변으로 하고 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm AE\)가 평행하다.
그러면, 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 넓이는 삼각형 \(\rm EBC\)의 넓이의 \(2\)배인 것을 보이자.
점 \(\rm A\)와 점 \(\rm C\)를 지나는 선분 \(\rm AC\)를 그린다. [I권 공리 1]
삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm EBC\)는 변 \(\rm BC\)를 공통으로 가지며 두 변 \(\rm BC\)와 \(\rm AE\)는 평행하므로(\(\rm BC \parallel\rm AE\)), (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)이다. [I권 명제 37]
대각선 \(\rm AC\)가 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 넓이를 이등분하므로 (사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이) 이어서, (사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(=2\)(삼각형 \(\rm EBC\) 넓이)이다. [I권 명제 34]
그러므로 주어진 평행사변형의 넓이는 밑변을 공유하고 꼭짓점이 밑변과 마주보는 대변 위에 있는 삼각형의 넓이의 두 배이다.
Q.E.D.
이 명제는 [I권 명제 34]를 부분적으로 일반화인데, 평행사변형 넓이는 대각선과 두개 옆면으로 하는 삼각형 넓이의 두 배이다. 약간 더 일반적인 표현은 “평행사변형과 삼각형과 동일한 밑변을 가지고 동일한 평행선에 있으면 평행사변형 넓이는 삼각형 넓이의 두 배이다.”이다.