I 권
명제
어떤 사각형이 서로 마주보는 변들끼리 서로 평행하다고 하면, 마 보는 변들의 길이가 각각 같고, 마주보는 각들 또한 그 각의 크기가 각각 같고 또한 두 대각선은 각각 이 사각형의 넓이를 이등분 한다.
어떤 사각형 \(\rm ACDB\)를 평행사변형이라 하면, 평행사변형 \(\rm ACDB\)의 두 대각인 각 \(\rm CAB\)와 각 \(\rm BDC\) 그리고 각 \(\rm ACD\)와 각 \(\rm ABD\)가 각각 같고, 두 대변 변 \(\rm AB\)와 변 \(\rm CD\) 그리고 변 \(\rm AC\)와 변 \(\rm BD\)가 각각 같고 또한 두 대각선 \(\rm BC\), \(\rm AD\)가 각각 평행사변형 \(\rm ACDB\) 넓이를 이등분 한다.
어떤 사각형 \(\rm ACDB\)를 평행사변형이다.
그러면, 평행사변형 \(\rm ACDB\)의 두 대각인 각 \(\rm CAB\)와 각 \(\rm BDC\) 그리고 각 \(\rm ACD\)와 각 \(\rm ABD\)가 각각 같고, 두 대변 변 \(\rm AB\)와 변 \(\rm CD\) 그리고 변 \(\rm AC\)와 변 \(\rm BD\)가 각각 같고 또한 두 대각선 \(\rm BC\), \(\rm AD\)가 각각 평행사변형 \(\rm ACDB\) 넓이를 이등분하다는 것을 보이자.
두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 평행하고(\(\overline{\rm AB}\parallel\overline{\rm CD}\)) 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)가 평행인(\(\overline{\rm AC}\parallel\overline{\rm BD}\))인 어떤 사각형 가 있다.
변 \(\\rm BC\)가 대각선이기 때문에 엇각인 각 \(\rm ABC\)와 각 \(\rm BCD\)의 크기는 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD\)이다. [I권 명제29]
또한 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm DB\)는 평행하고 (\(\overline{\rm AC}\parallel\overline{\rm BD}\)), 변 \(\rm BC\)가 대각선이기 때문에 엇각인 각 \(\angle\rm ACB\)와 각 \(\rm CBD\)의 크기는 \(\angle\rm ACB=\angle\rm CBD\)이다. [I권 명제29]
그래서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DCB\)는 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD\), \(\angle\rm ACB=\angle\rm CBD\) 그리고 공통인 \(\overline{\rm BC}\)이므로 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DCB\)는 합동이다.(\(\triangle\rm ABC\equiv \triangle\rm DCB\), ASA 합동)
따라서 서로 대응되는 변들이 길이가 같고 남은 각들끼리도 크기가 같다. [I권 명제26]
그러므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}\) 그리고 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD\), \(\angle\rm ACB=\angle\rm CBD\)이므로 \(\angle\rm ADB=\angle\rm ABC+\angle\rm CDB=\angle\rm BCD+\angle\rm ACB=\angle\rm ACD\)이다.
\(\angle\rm ABD=\angle\rm ACD\)이기 때문에 \(\angle\rm BAC=\angle\rm CDB\)이다. [I권 일반상식 2]
그러므로 평행사변형 \(\rm ACDB\)에서 마주보는 두 변과 두 각은 같다./p>
한편, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)이고 \(\overline{\rm BC}\)가 공통이기 때문에 두 변 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DC}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm CB}\)이고 \(\angle\rm ABC=\angle\rm BCD\)이다.
그러므로 밑변 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DB}\)이고, 삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DCB\)는 합동(\(\triangle\rm ABC\equiv\triangle \rm DCB\), SAS 합동)이다. 따라서 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이) \(=\) (삼각형 \(\rm DCB\) 넓이)이다.
또한 (평행사변형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm DCB\) 넓이)이어서 대각선 \(\rm BC\)가 평행사변형 \(\rm ACBD\)의 넓이를 이등분한다.
그러므로 어떤 사각형이 서로 마주보는 변들끼리 서로 평행하다고 하면, 마 보는 변들의 길이가 각각 같고, 마주보는 각들 또한 그 각의 크기가 각각 같고 또한 두 대각선은 각각 이 사각형의 넓이를 이등분 한다.
Q.E.D.
이 명제에서 유클리드는 다음 명제에서 처음 나오는 ‘평행사변형’라는 단어 대신 ‘평 행사변형의 넓이’이라는 용어를 사용하였다. 프로클러스(Proclus)는 이 명제가 ‘평행사변형’라는 단어가 유클리드에 의해서 만들어 졌다는 증거라고 하였다. 이 명제는 사각형의 넓이 측정의 시작이다. 시작은 그리 대단하지는 않지만, 삼각형과 평행사변형을 비교하여 한 가지에 관한 문제와 결과가 다른 것에 관한 문제와 결과로 전환될 수 있다.