I 권
명제
주어진 삼각형에서 두 변을 더한 길이는 나머지 한 변의 길이 보다 더 길다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)이 있다.
그러면, 삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다는 것을 보이자.
삼각형 \(\rm ABC\)에서 점 와 점 를 잇는 반직선 를 작도한다.
반직선 \(\rm BA\)위에 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}\)가 되도록 점 \(\rm D\)를 잡는다. [I권 공리 2, 명제 3]
선분 \(\rm DC\)를 긋는다. [I권 공리 1]
삼각형 \(\rm ADC\)가 이등변삼각형이므로 \(\angle\rm ACD=\angle\rm ADC\)이다. \(\cdots\)①
또한, \(\angle\rm BCD = \angle\rm BCA + \angle\rm ACD\)이다. [I권 명제 5, 상식 5] \(\cdots\)②
그러므로 ①과 ②에 의하여 \(\angle\rm BCD > \angle\rm ACD\)이다. \(\cdots\)③
③과 [I권 명제 19]에 의하여 삼각형 \(\rm BCD\)에서 \(\overline{\rm BD}> \overline{\rm BC}\)이 성립한다.
또한 \(\overline{\rm DA}= \overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm AB}+ \overline{\rm AC}> \overline{\rm BC}\)가 성립한다.
같은 방법으로, \(\overline{\rm AB}+ \overline{\rm BC}> \overline{\rm CA}\)와 \(\overline{\rm BC}+ \overline{\rm CA}> \overline{\rm AB}\)인 경우에도 같은 방법으로 보일 수 있다.
그러므로 주어진 삼각형에서 두 변을 더한 길이는 나머지 한 변의 길이 보다 더 길다.
Q.E.D.
이 명제는 ‘삼각형 부등식’으로 알려져 있다. 두 점 사이의 최단 경로가 직선이라는 것은 명제의 일부다. 이 명제를 사용하면 두 점 사이의 모든 다각형 경로 중에서 가장 짧은 것이 두 점을 연결하는 선분인 것임을 알 수 있다. 물론, 다각형 경로 외에 많은 다른 가능한 경로가 있다.
맞꼭지각에 대한 [I권 명제 15]와 함께 ‘삼각형 부등식’에 대한 이 명제는 알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria, ca. 10 ~ ca. 70)에 의해 설명되고 해결 된 최소 거리에서 문제를 해결할 수 있게 한다.
직선 \(\rm CD\)의해서 나누어진 같은 영역에 서로 다른 두 점 \(\rm A\)와 \(\rm B\)가 있다고 하자.
문제는 점 \(\rm A\)에서 직선 \(\rm CD\) 위의 어떤 점 \(\rm P\)를 지나 점 \(\rm B\)로 가는 최단 경로를 찾는 것이다. 직선으로 그려진 경로만 고려하자. 이 경로는 한번 구부러져 있는 선이다.(V자 모양의 선) 그러나 여전히 두 선분 \(\rm AP\)와 \(\rm PB\)의 길이의 합을 최소화하기 위해 직선 \(\rm CD\)에서 어떤 점 \(\rm P\)를 선택해야 하는지에 대한 문제가 남아 있다.
해결방법은 입사각 \(\rm AEC\)와 반사각 \(\rm BED\)가 \(\angle\rm AEC=\angle\rm BED\)일 때 경로 \(\rm AEB\)가 최단경로가 된다. 점 \(\rm B\)에서 직선 \(\rm CD\)에 수직선 \(\rm BF\)를 그리고[I권 명제 12], \(\overline{\rm FB'}=\overline{\rm BF}\)이 되도록 점 \(\rm B'\)을 잡는다[I권 공리 2, 명제 3]. 선분 \(\rm AB'\)를 그리고 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm CD\)의 교점을 점 \(\rm E\) 라고 하자. 점 \(\rm A\)와 점 \(\rm B'\)은 직선 \(\rm CD\)를 중심으로 반대편 영역에 있으므로 교점을 갖는다. 선분 \(\rm BE\)를 그리자.
이제, 삼각형 \(\rm BFE\)와 \(\rm B'FE\)는 \(\overline{\rm EF}\)공통, \(\overline{\rm FB'}=\overline{\rm BF}\) 그리고 \(\angle\rm BFE = \angle\rm B' FE=90^{\circ}\)이기 때문에 두 삼각형은 합동이다. [I권 명제4] 따라서 \(\angle\rm BEF=\angle\rm B'EF\)이다. 각 \(\rm AEC\)와 각 \(\rm B'EF\)는 맞꼭지각이므로 \(\angle\rm AEC=\angle\rm B'EF\)이다. [I권 명제 154] 따라서 입사각 \(\rm AEC\)와 반사각 \(\rm BED\)은 \(\angle\rm AEC=\angle\rm BED\)이다.
우리는 여전히 거리 \(\overline{\rm AE}+\overline{\rm EB}\)가 직선 \(\rm CD\) 위의 점 \(\rm E\)를 제외한 직선 \(\rm CD\) 위의 어떤 점 \(\rm P\)를 지난 경로의 거리 \(\overline{\rm AP}+\overline{\rm PB}\)보다 작다는 것을 보여줘야 한다. 점 \(\rm P\)에서 각각의 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm B'\)을 이어서 선분 \(\rm PA\), \(\rm PB\), \(\rm PB'\)를 그리자. 그 다음, 위의 [I권 명제 20]에 의해서\(\overline{\rm AP}+\overline{\rm EP}< \overline{\rm AB'}\) 이다. 그러나 \(\overline{\rm AB'}=\overline{\rm AE}+\overline{\rm EB'}\), \(\overline{\rm EB'}=\overline{\rm EB}\)이므로 \(\overline{\rm AP}+\overline{\rm EP}< \overline{\rm AE}+\overline{\rm EB}\)이다.