I 권
명제
주어진 평행사변형 안에 대각선 위의 한 점을 지나며 모든 선분들이 주어진 평행사변형(대각선 평행사변형)과 평행한 두 평행사변형은 넓이가 같다. 이 두 평행사변형을 여(complements) 평행사변형이라고 한다.
주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선 \(\rm AC\) 위의 한 점 \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm AB\), \(\rm AD\)와 각각 평행한 두 직선이 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 만나는 교점을 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)라 하면, 평행사변형 \(\rm FBGE\)와 평행사변형 \(\rm IEHE\)의 넓이는 같다. 두 평행사변형 \(\rm FBGE\), \(\rm IEHE\)을 여(complements) 평행사변형이라고 한다.
주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선 \(\rm AC\) 위의 한 점 \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm AB\), \(\rm AD\)와 각각 평행한 두 직선이 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 만나는 교점을 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)라 하자.
그러면, 평행사변형 \(\rm FBGE\)와 평행사변형 \(\rm IEHE\)의 넓이는 같다는 것을 보이자.
평행사변형 \(\rm ABCD\)에 대하여 대각선 \(\rm AC\)를 그리자.
그러면 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm CDA\) 넓이)이다. \(\cdots\cdots\)① [I권 명제 34]
대각선 \(\rm AC\) 위의 한 점 \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm AB\), \(\rm AD\)와 각각 평행한 두 직선이 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 만나는 교점을 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)라 하자.
그러면 평행사변형 \(\rm AFEI\)에 대하여 (삼각형 \(\rm AFE\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EIA\) 넓이)이다. \(\cdots\cdots\)② [I권 명제 34]
같은 방법으로 평행사변형 \(\rm EGCH\)에 (삼각형 \(\rm EGC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm CHE\) 넓이)이다. \(\cdots\cdots\)③ [I권 명제 34]
①, ②, ③에 의해
(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(-\)\((\)(삼각형 \(\rm AFE\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm EGC\) 넓이)\()\)\(=\)(삼각형 \(\rm CDA\) 넓이)\(-\)\((\)(삼각형 \(\rm EIA\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm CHE\) 넓이)\()\)
이고 이를 정리하면
(삼각형 \(\rm AFE\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm EGC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm IEA\) 넓이)\(+\)(삼각형 \(\rm CHE\) 넓이)
가 성립한다.
그러므로 (사각형 \(\rm FBGE\) 넓이)\(=\)(사각형 \(\rm IEHD\) 넓이)이다. [상식2, 상식 3]
그러므로 주어진 평행사변형 안에 대각선 위의 한 점을 지나며 모든 선분들이 주어진 평행사변형(대각선 평행사변형)과 평행한 두 평행사변형은 넓이가 같다. 이 두 평행사변형을 여(complements) 평행사변형이라고 한다.
Q.E.D.
명제의 의미는 그 사용법을 찾는데 있다. ‘대각선 평행사변형(the parallelograms about the diameter)’이라는 용어는 주어진 평행사변형과 동일한 각을 갖고, 주어진 평행사변형의 대각선 \(\rm AC\)의 두 부분인 선분 \(\rm AK\) 및 \(\rm KC\)를 대각선으로 하는 2개의 평행사변형을 지칭한다. 보완은 원래 평행사변형에서 이 두 평행사변형을 제거한 후 남은 두 평행사변형이다.