I 권
명제
주어진 두 삼각형에서, 두 각의 크기가 두 각의 크기와 각각 같고 한 변의 길이가 한 변의 길이와 같으면, 즉, 크기가 서로 같은 각 사이에 놓이는 변의 길이가 같거나 또는 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같으면 나머지 변들도 나머지 변들의 길이와 각각 같고, 나머지 각도 나머지 각의 크기가 같다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에 대하여 두 각\(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 같고, 두 각 \(\rm ACB\)와 \(\rm DFE\)가 같고, (1) 서로 크기가 같은 각 사이에 놓인 변의 길이가 서로 같을 때, 즉, 두 변 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)의 길이가 같은 때, 또는 (2) 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같을 때, 즉 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)의 길이가 같거나 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm DF\)의 길이가 같으면, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다. 그러므로 나머지 두 변의 길이와 나머지 한 각의 크기가 각각 같다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에 대하여 두 각\(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 같고, 두 각 \(\rm ACB\)와 \(\rm DFE\)가 같고, (1) 서로 크기가 같은 각 사이에 놓인 변의 길이가 서로 같거나(즉, 두 변 \(\rm BC\)와 \(\rm EF\)의 길이가 같다.) 또는 (2) 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같다.(즉 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)의 길이가 같거나 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm DF\)의 길이가 같다.)
그러면, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동임을 보이자.
두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에 대하여 \(\angle\rm ABC = \angle\rm DEF\), \(\angle\rm ACB = \angle\rm DFE\)라고 가정하고,
(1) 서로 크기가 같은 각 사이에 놓인 변이 같다고 가정하자. 즉 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)인 경우이다.
\(\overline{\rm AB}\ne \overline{\rm DE}\)고 가정하자. 그러면 둘 중 긴 변을 \(\rm AB\)라 하자. 즉 \(\overline{\rm AB} > \overline{\rm DE}\)라 하자.
선분 \(\rm AB\) 위에 \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm DE}\)를 만족하는 점 \(\rm G\)를 잡고, 선분 \(\rm CG\)를 긋는다. [I권 명제 3, 공리 1]
그러면 두 삼각형 \(\rm GBC\)와 \(\rm DEF\)에서, \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\) 그리고 \(\angle\rm ABC=\angle\rm DEF\)이므로 두 삼각형 \(\rm GBC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다. (\(\triangle\rm GBC\equiv \triangle\rm DEF\), SAS합동) [I권 명제 4]
따라서 가정에서 \(\angle\rm DFE=\angle\rm ACB\)이고 \(\angle\rm GCB=\angle\rm DEF\)이므로 \(\angle\rm GCB=\angle\rm ACB\)이다. [I권 상식 1]
이것은 \(\angle\rm GCB < \angle\rm ACB\)에 모순이므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)이다.
또한 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\), \(\angle\rm ABC < \angle\rm DEF\)이므로 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다. (\(\triangle\rm ABC\equiv \triangle\rm DEF\), SAS합동) [I권 명제 4]
(2) 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같다고 가정하자. 즉 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)인 경우이다.
\(\overline{\rm BC}\ne \overline{\rm EF}\)고 가정하자. 둘 중 긴 변을 \(\rm BC\)라 하자.
선분 \(\rm BC\) 위에 \(\overline{\rm BH}=\overline{\rm EF}\)를 만족하는 점 \(\rm H\)를 잡고, 선분 \(\rm AH\)를 긋는다. [I권 명제 3, 공리 1]
두 삼각형 \(\rm ABH\)와 \(\rm DEF\)에서, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BH}=\overline{\rm BH}=\overline{\rm EF}\) 그리고 \(\angle\rm ABH = \angle\rm DEF\)이므로 두 삼각형 \(\rm ABH\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다. (\(\triangle\rm ABH\equiv \triangle\rm DEF\), SAS합동) [I권 명제 4]
그러므로 가정에서 \(\angle\rm DFE=\angle\rm ACB\)이고 \(\angle\rm AHB=\angle\rm DFE\) 이므로 \(\angle\rm AHB=\angle\rm ACB\)이다. [I권 일반상식 1]
그러나 삼각형 \(\rm AHC\)에서 외각 \(\rm AHB\)와 내각 \(\rm ACB\)가 \(\angle\rm AHB =\angle\rm ACB\)이므로 모순이다. [I권 명제 16]
그러므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이다.
또한 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\angle\rm ACB =\angle\rm DFE\)이므로 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다.(\(\triangle\rm ABC\equiv \triangle\rm DEF\), SAS합동) [I권 명제 4]
같은 방법으로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)인 경우에도 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 합동임을 보일 수 있다.
그러므로 (1), (2)에 의하여 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 합동이다.
그러므로 주어진 두 삼각형에서, 두 각의 크기가 두 각의 크기와 각각 같고 한 변의 길이가 한 변의 길이와 같으면, 즉, 크기가 서로 같은 각 사이에 놓이는 변의 길이가 같거나 또는 같은 크기의 각과 마주 보는 변의 길이가 같으면 나머지 변들도 나머지 변들의 길이와 각각 같고, 나머지 각도 나머지 각의 크기가 같다.
Q.E.D.
이 명제에는 가정에서만 다른 두 가지 진술이 있다. 한 가지는 주어진 변이 크기가 서로 같은 각 사이에 놓여 있고, 나머지는 주어진 변이 같은 크기의 각과 마주 보는 변으로 진술되어 있다. 이 명제가 삼각형의 각의 합이 두 개의 직각과 같다고 한 [I권 명제 32] 이후에 놓여 있다면, 이 두 가정이 하나로 합쳐졌을 수도 있다. 두 개의 각을 알면 나머지 세 번째 각을 알 수 있기 때문이다. 그러나 [I권 명제 32]는 평행공리 [I권 공리5]에 의존하는데, 이는 유클리드가 필요하지 않으면 사용하고 싶지 않다는 것이 분명하다. 따라서 이 [I권 명제 26]에서 두 가지 구별된 가정이 보인다.
이것은 삼각형에 대한 유클리드의 마지막 합동 정리이다. 유클리드의 합동 정리는 [I권 명제 4](SAS), [I권 명제 8] (SSS)와 [I권 명제 26] (ASA)이다. 유클리드가 합동 개념을 명시적으로 사용하지 않았기 때문에 이것들을 합동 정리라고 부르는 것은 시대에 뒤 떨어진다.
\(\angle\rm A=\angle\rm D\), \(\angle\rm B=\angle\rm E\), \(\angle\rm C=\angle\rm F\)이고, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm FD}\)이면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 합동이라고 말할 수 있다.(\(\triangle\rm ABC\equiv \triangle\rm DEF\)) 즉, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 \(\triangle\rm ABC = \triangle\rm DEF\)이다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)는 같은 넓이를 갖는다.
나머지 합동 정리라고 할 수는 없지만 SSA인 경우에는 모호한 경우를 포함하고 있다. 두 삼각형 \(\rm ABC\)는 \(\rm DEF\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\angle\rm A = \angle\rm D\)이라고 가정하자. \(\overline{\rm AB} \le \overline{\rm BC}\)인 경우는 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)가 합동이다.(\(\triangle\rm ABC \equiv \triangle\rm DEF\)) 그러나 \(\overline{\rm AB} > \overline{\rm BC}\)이면 두 삼각형 \(\overline{\rm AB} \ge \overline{\rm BC}\)가 합동이 되지 않을 수도 있다. 유클리드는 SSA 합동 정리의 어떤 형태도 포함하지 않지만, [III권 명제 14]의 증명 과정에서 SSA(A는 직각)의 특별한 경우를 증명하였다.
유클리드는 SSA를 합동 정리를 포함하지 않지만 SSA 유사한 정리가 [VI권 명제 7]이다. 다음과 같이 표현되어 있다. 두 개의 삼각형이 두 개의 각이 같은데 한 개의 각이 한 개의 각과 같고, 두 개의 변으로 만들어진 각이 같으면, 다시 말하면 한 변을 낀 각이 같고 다른 한 변의 마주보는 각 즉 대 각의 크기가 같고 나머지 각이 직각보다 작거나, 두 각이 직각보다 작으면, 나머지 변은 나머지 변과 같고 나머지 각은 나머지 각과 같다.