Proposition 6 of Book I

명제 6

삼각형에서 두 밑각의 크기가 같으면 그 각들과 마주보는 두 변의 길이는 같다.

삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 밑각 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)의 크기가 같으면, 각각의 각들이 마주보고 있는 대변인 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm AB\)의 길이가 같다. 즉, 삼각형 \(\rm ABC\)에서 두 밑각 \(\rm ABC\)와 \(\rm ACB\)의 크기가 같으면 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)의 크기가 같은 이등변삼각형이다.

증명

삼각형 \(\rm ABC\)는 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)인 삼각형이다.

그려면 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)인 이등변삼각형임을 보이자.

삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\angle\rm ABC=\angle\rm ACB\)이고, 두 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm AC\)의 길이가 다르다고 하고, 선분 \(\rm AB\)가 더 길다고 하자. 즉, \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm AC}\)이라고 하자. [I권 일반상식, I권 명제 1]

그러면 \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm AC}\)이어서 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm AC}\)이 되도록 선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm D\)를 잡자. [I권 명제 1, 공리 1]

그러면 선분 \(\rm BC\)가 공통이고 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm AC}\), \(\angle \rm DBC=\angle\rm ACB\)(가정)이므로,

삼각형 \(\rm DBC\)와 삼각형 \(\rm ACB\)는 합동이다.(\(\triangle \rm DBC \equiv \triangle \rm ACB\)) [I권 명제 4, 일반상식 5]

그런데 작은 삼각형 \(\rm DBC\)가 큰 삼각형 \(\rm ACB\)와 합동이 되었으므로 모순이다.

따라서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)이어야 한다.

따라서 삼각형에서 두 밑각의 크기가 같으면 그 각들과 마주보는 두 변의 길이는 같다.

Q.E.D.

부연설명

I권 명제 6은 I권 명제 5의 역이다. 명제 6은 \(\angle \rm B=\angle \rm C\)이면 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)이고 명제 5는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)이면 \(\angle \rm B=\angle \rm C\)이다. 이 두 명제는 모두 참이지만 일반적인 논리에서는 어떤 명제의 역은 항상 참이 아니다.

또한 이 명제는 모순에 의한 증명을 한 첫 번째 명제이다. 이를 유클리드 원론에서는 귀류법(reductio ad absurdum)이라고 부른다. \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\)이라는 것을 증명하기 위해서 삼각형 \(\rm DBC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)의 부분이어서 ‘전체는 부분보다 크다.’라는 [상식 5]에 모순이라는 것에서 이를 이끌어 내었다. ‘삼각형 \(\rm DBC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)와 같다는 것이 모순이기 때문에 삼각형 \(\rm DBC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)는 같지 않다.’는 논리로 증명을 하였다.

유클리드는 종종 이 모순법을 써서 증명을 하였는데 기하적인 대상의 존재에는 이를 사용하지 않았다.

삼분법(The law of trichotomy))

삼분법에 의하면 ‘\(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm AC}\)가 같지 않으면, 둘 중 어느 하나는 다른 것보다 크다.’이다. 이것은 세 가지 경우로 \(\overline{\rm AB}< \overline{\rm AC}\)또는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}\) 또는 \(\overline{\rm AB} >\overline{\rm AC}\)이다. 중간 것이 아니므로 둘 중 하나이고 이는 두 개의 선분 중 어느 하나가 다른 선분보다 크다. 삼분법은 공통 개념으로 명시적으로 언급되어 있지는 않지만 공통 개념으로 열거 된 일종의 크기의 속성이다.

중요한 점은 이 세 가지 중 한 가지만 참이고 나머지는 둘은 거짓이라는 것이다. 일반적인 ‘또는’의 논리 연산자의 속성을 따르지 않는다.

삼분법에 의해서 삼각형 \(\rm DBC\)가 삼각형 \(\rm ABC\)와 같거나 크거나 또는 작을 것이다. [상식 5]에 의해서 부분은 전체보다 작으므로 삼각형 \(\rm DBC\)가 삼각형 \(\rm ABC\) 보다 클 수는 없다. 즉, \(\triangle \rm DBC \not{>} \triangle\rm ABC\)이므로 삼각형 \(\rm DBC\)가 삼각형 \(\rm ABC\)는 \(\triangle \rm DBC = \triangle\rm ABC\) 또는 \(\triangle \rm DBC < \triangle\rm ABC\)일 것이다.