증명

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주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)에 대하여, 두 변 \(\rm AB\)와 \(\rm DE\)의 길이가 같고, 두 변 \(\rm AC\)와 \(\rm DF\)의 길이도 같으며 변 \(\rm BC\)의 길이가 변 \(\rm EF\)의 길이보다 길다.

그러면, 각 \(\rm BAC\)의 크기는 각 \(\rm EDF\)의 크기보다 크다는 것을 보이자.

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\(\angle\rm BAC > \angle\rm EDF\)가 아니라고 가정하면, \(\angle\rm BAC \le \angle\rm EDF\)이다.

1) \(\angle\rm BAC = \angle\rm EDF\)이라고 가정하자.

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)이므로, \(\overline{\rm BC} = \overline{\rm EF}\)이다. [I권 명제 4]

그러나 가정 \(\overline{\rm BC} > \overline{\rm EF}\)에 모순이다.

2) \(\angle\rm BAC < \angle\rm EDF\)이라고 가정하자.

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)이므로, \(\overline{\rm BC} < \overline{\rm EF}\)이다. [I권 명제 24]

그러나 이 경우도 가정 \(\overline{\rm BC} > \overline{\rm EF}\)에 모순이다.

1), 2)에 의하여 \(\angle\rm BAC \le \angle\rm EDF\)이면 가정에 모순이므로 \(\angle\rm BAC > \angle\rm EDF\)이다.

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그러므로 주어진 두 삼각형에서, 두 변의 길이가 각각 같고, 밑변의 길이가 다르면, 두 변이 만드는 각들 중에서 긴 밑변과 마주 보는 대각이 더 크다.

Q.E.D.