증명

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주어진 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)과 \(\rm EFGH\)가 같은 평행선에 사이에 놓여 있고 밑변 \(\rm BC\)와 \(\rm FG\)가 일직선 상에 있으며, 두 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm FG\)의 길이가 같다.

그러면, 두 평행사변형 \(\rm ABCD\)과 \(\rm EFGH\)의 넓이가 같다는 것을 보이자.

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두 평행사변형 \(\rm ABCD\)과 \(\rm EFGH\)에서 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm EH\)가 일직선 상에 있고, 선분 \(\rm BC\)와 \(\rm FG\)도 일직선 상에 있으며 두 선분 \(\rm AH\)와 \(\rm BG\)는 평행하다고 하자.(\(\overline{\rm AH}\parallel\overline{\rm BG}\))

선분 \(\rm BE\), \(\rm CH\)를 그리자. [I권 공리 2]

그러면 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm FG}\)이고, \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm EH}\)이므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EH}\)이다. 또한 두 선분 \(\rm BG\)와 \(\rm EH\)는 평행하다. (\(\overline{\rm BG}\parallel\overline{\rm EH}\)) [I권 명제 34, 일반명제 1]

두 선분 \(\rm BC\), \(\rm EH\)가 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EH}\)이고 평행하므로 두 선분 \(\rm EB\)와 \(\rm HC\)는 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm HC}\)이고 평행하다. (\(\overline{\rm EB}\parallel\overline{\rm HC}\)) [I권 명제33]

그러므로 \(\rm EBHC\)는 평행사변형이다. [I권 명제34]

평행사변형 \(\rm EBHC\)는 평행사변형 \(\rm ABCD\)과 공통 밑변 \(\rm BC\)를 갖고 있고 같은 두 평행선 \(\rm BC\), \(\rm AH\) 사이에 있다. 그러므로 (평행사변형 \(\rm EBCH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)이다. [I권 명제35]

또한 같은 논리로 평행사변형 \(\rm EFGH\)는 평행사변형 \(\rm EBCH\)와 넓이가 같다. 즉, (평행사변형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm EBCH\) 넓이) [I권 명제34]

그러므로 (평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm EFGH\) 넓이)이다.

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그러므로 주어진 두 평행사변형이 같은 평행선들 사이에 놓여있으면, 이 두 평행사변형의 밑변의 길이가 같으면 넓이가 같다.

Q.E.D.