증명

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주어진 삼각형 \(\rm ABC\)의 반직선 \(\rm BC\) 위의 점이면서 선분 \(\rm BC\)의 밖의 점을 점 \(\rm E\)라고 하자.

그러면, 외각 \(\rm ACD\)은 맞은편에 있는 두 내각 \(\rm CBA\)와 \(\rm BAC\)보다 크다는 것을 보이자.

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삼각형 \(\rm ABC\)에서 선분 \(\rm BC\)의 연장선 위에 선분 내부가 아닌 외부 점 \(\rm D\)를 잡자.

\(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}\)인 점 \(\rm E\)를 잡다. [I권 명제 10]

선분 \(\rm BC\)의 연장선 위에 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm EF}\)인 점 \(\rm F\)를 잡다. [I권 명제 3]

선분 \(\rm FC\)를 긋자. [I권 공리 1]

선분 \(\rm AC\)의 연장선 위에 점 \(\rm G\)를 잡자. [I권 공리 2]

삼각형 \(\rm AEB\)와 \(\rm CFE\)에서 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}\), \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm EF}\) 그리고 \(\angle\rm AEB=\angle\rm FEC\)이다. [I권 명제 15]

따라서 삼각형 \(\rm AEB\)와 \(\rm CFE\)는 합동이다.(\(\triangle \rm ABE\equiv\triangle\rm CFE\), SAS합동)

그러므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm FC}\), \(\angle\rm BAE=\angle\rm ECF\)이고 [I권 명제 4], \(\angle\rm ECD>\angle\rm ECF\)이다. [[I권 상식 5]]

따라서 \(\angle\rm ACD>\angle\rm BAE\)이다.

같은 방법으로 선분 \(\rm BC\)를 이등분하면 \(\angle\rm BCG>\angle\rm ABC\), \(\angle\rm BCF=\angle\rm ACD\)을 증명할 수 있다. [I권 명제 15]

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그러므로 주어진 삼각형의 한 변의 한 쪽을 연장하여 만들어진 외각은 맞은편 두 내각보다 크다.

Q.E.D.