I 권
명제
주어진 두 삼각형에 대하여, 두 삼각형은 밑변을 공유하고, 밑변과 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있는 두 삼각형은 넓이가 서로 같다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)은 밑변 \(\rm BC\)를 공유하고 직선 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)가 평행하면 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)의 넓이가 같다.
주어진 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)은 밑변 \(\rm BC\)를 공유하고 직선 \(\rm AD\)와 \(\rm BC\)가 평행하다.
그러면, 두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)의 넓이가 같다는 것을 보이자.
두 삼각형 \(\rm ABC\)와 \(\rm DBC\)가 같은 밑변 \(\rm BC\)를 가지고 두 점 \(\rm A\)와 \(\rm D\)가 선분 \(\rm BC\)에 평행한 직선 위에 있다고 하자.
선분 \(\rm AD\)를 양쪽 방향을 길게 늘여 선분 \(\rm EF\)를 그리자. [I권 공리 2]
점 \(\rm B\)에서 선분 \(\rm CA\)와 평행하도록 선분 \(\rm BE\)를 그리고, [I권 명제 31]
점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm BD\)와 평행하도록 선분 \(\rm CF\)를 그리자. [I권 명제 31]
그러면 사각형 \(\rm EBCA\)와 \(\rm DBCF\)는 평행사변형이다.
또한 밑변 \(\rm BC\)를 공통으로 가지고 같은 평행선들에 놓이기 때문에 (평행사변형 \(\rm EBCA\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm DBCF\) 넓이)이다. [I권 명제 35]
선분 \(\rm AB\)는 평행사변형 \(\rm EBCA\)의 대각선이므로
(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm DBCA\) 넓이)이다. [I권 명제 34]
같은 방법으로 (삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm DBCF\) 넓이)이다. [I권 명제 34]
그러므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm DBCA\) 넓이)\(=\frac12\)(평행사변형 \(\rm DBCF\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)이다.
따라서 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm DBC\) 넓이)이다.
그러므로 주어진 두 삼각형에 대하여, 두 삼각형은 밑변을 공유하고, 밑변과 꼭짓점이 동일한 평행선 상에 있는 두 삼각형은 넓이가 서로 같다.
Q.E.D.
이 명제에서 두 삼각형은 같은 밑변을 공유하지만, 다음 명제에서는 삼각형은 길이만 같은 밑변을 갖는다. 증명은 [I권 명제35]와 [I권 명제36]을 활용하고 있으며 더 일반적이며 증명과정 또한 동일하다. 이 명제를 포함시킬 목적이 없다.
마지막 결론의 타당성이 없다. 두 크기의 두 배가 같다는 증명 과정에서 크기 자체가 같다고 결론을 내릴 수 있다. 유클리드는 공통 개념을 포함하지 않았지만 다른 사람들은 나중에 이를 삽입했다. 다른 크기의 특성에 기초한 이 절반의 원리에 대한 증명은 공통 개념에 대한 주석을 참조하여라.