VII 권
목차
단위(unit)란 이것을 가지고 다른 것들을 만드는 것이며, 이것을 \(1\)이라고 부른다.
수(number)란 단위를 가지고 만든 것을 말한다.
작은 수가 큰 수를 나누면, 이 때 작은 수를 약수라 한다.
\(a>b\)인 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a=kb\)인 수 \(k\)가 존재하면 \(b\)은 \(a\)의 약수라 한다.
작은 수가 큰 수를 나누지 못하면, 작은 수는 큰 수의 부분(part)이라 한다.
\(a>b\)인 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a=kb\)인 수 \(k\)가 존재하지 않으면 즉, \(a\ne kb\)이면, \(na=mb\)인 두 수 \(m\), \(n\)이 존재한다.
작은 수가 큰 수를 나누면, 큰 수는 작은 수의 배수(multipe)라 한다.
\(a>b\)인 두 수 a, b에 대하여, \(a=kb\)인 수 \(k\)가 존재하면 \(a\)는 \(b\)의 배수라 한다.
같은 크기로 둘로 나눌 수 있는 수를 ‘짝수’라고 한다.
같은 크기로 둘로 나눌 수 없는 수를 ‘홀수’라고 한다. 짝수와 그 크기의 차이가 \(1\) 만큼인 수이다.
두 짝수를 곱하는 것을 ‘짝수-짝수 곱’이라고 한다.
홀수와 짝수의 곱하는 것을 ‘홀수-짝수 곱’이라고 한다.
두 홀수를 곱하는 것을 ‘홀수-홀수 곱’이라고 한다.
\(1\)로만 측정할 수 있는 수를 소수(prime number)라 한다.
어떤 두 수를 공통으로 측정할 수 있는 수가 \(1\) 뿐일 때, 어떤 두 수를 ‘서로소(상대적 소수, relatively prime)’라고 한다.
어떤 두 수를 \(1\) 이외의 다른 어떤 수로 측정 할 수 있을 때, 어떤 두 수를 ‘합성수(composite number)라고 한다.
어떤 두 수를 \(1\) 이외의 다른 어떤 수로 공통으로 측정 할 수 있을 때, 어떤 두 수를 ‘상대적 합성수(relatively composite)’라고 한다.
어떤 수에 다른 어떤 수를 ‘곱한다’는 것은 다른 어떤 수를 어떤 수의 단위수 개수만큼 어떤 수를 더하는 것이다.
어떤 두 수를 곱해서 만들어진 새로운 수를 ‘평면수(plane number)’이라 하고 어떤 두 수를 각각 ‘면’의 ‘변(side)’이라 한다.
어떤 세 수를 곱해서 만들어진 새로운 수를 ‘입체수(solid number)’라 하고 어떤 세 수를 각각 ‘입체’의 ‘변’이라 한다.
‘제곱수’는 같은 수를 두 번 곱해서 만든 수이다. 또는 같은 크기로 둘로 나눌 수 있는 수이다.
‘세제곱수’는 같은 수를 세 번 곱해서 만든 수이다. 또는 같은 크기로 세 개로 나눌 수 있는 수이다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)로 '비례한다(proportional)'는 것은 \(ad=bc\)를 만족하는 것이다.
두 도형의 각 변들이 서로 비례하면 ‘닮은 평면수’ 또는 ‘닮은 입체수’라고 한다.
어떤 수 자신을 제외한 약수들의 합이 어떤 수 자신과 같을 때 그 어떤 수는 ‘완전수(perfect number)’이다.
서로 다른 두 수에 대하여, 큰 수를 작은 수로 나누어 나머지 수를 구하고, 이전의 작은 수를 큰 수로 놓고 이전의 나머지 수를 작은 수로 놓아 이전 방법을 반복해서 하자. 만약 나머지 수가 그 전의 수를 잴 수 없으면 즉, 나머지 수가 \(1\)이면 원래 두 수는 서로소이다.
서로 다른 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 큰 수를 작은 수로 나누어 나머지 수를 구하고, 이전의 작은 수를 큰 수로 놓고 이전의 나머지 수를 작은 수로 놓아 이전 방법을 반복해서 하자. 나머지 수가 이전의 작은 수를 나눌 수 없을 때, 즉 나머지 수가 \(1\)이라고 하자. 그러면 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 서로소이다.
서로소가 아닌 두 수에 대하여 이 두 수를 공통으로 나눌 수 있는 최대공약수를 구할 수 있다.
서로소가 아닌 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 이 두 수를 공통으로 나누는 최대공약수를 구할 수 있다.
어떤 수가 두 수의 공약수라고 하면, 최대공약수는 그 공약수의 약수이다.
서로소가 아닌 세 수에 대하여 이 세 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
서로소가 아닌 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
어떤 두 수에 대하여, 작은 수는 큰 수의 약수이거나 부분이다.
두 수 \(a\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}< a\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 약수이거나 \(a\)의 부분이다.
어떤 수가 어떤 수의 약수라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 약수라고 하자. 또한 약수가 두 수 모두 같은 크기의 개수로 나눈다. 그러면 약수를 더한 것은 두 수를 더한 것의 같은 약수가 된다.
\(a\)가 \(\overline{\rm BC}\)의 약수라고 하고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\)이라 하자. 또한 \(d\)가 \(\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EF}=nd\)라 하자. 그러면 \(a+d\)는 \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}=n\left(a+d\right)\)이다.
어떤 수가 어떤 수의 부분이라고 하고 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 앞의 부분과 같은 부분이라고 하자. 그러면 부분을 더한 것은 전체 수를 더한 것에 앞에서의 부분과 같다.
\(\overline{\rm AB}\)는 \(c\)의 부분으로 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c=\frac mn \overline{\rm AB}\)이고, \(\overline{\rm DE}\)는 \(f\)의 부분으로 이전의 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(f=\frac mn \overline{\rm DE}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\)는 \(c+f\)의 부분으로 이전의 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c+f=\frac mn \left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\right)\)이다.
어떤 수가 어떤 수의 약수라 하고, 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 둘 다 같은 약수의 개수를 갖는다고 하자. 그러면 어떤 약수에서 다른 약수를 뺀 것은 전체 어떤 수에서 다른 어떤 수를 뺀 것의 약수이며 이 전의 약수의 개수를 갖는다.
\(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이고 \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm CF}\)의 약수이며 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm CD}=n\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)이다. \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm DF}\)의 약수이고 \(\overline{\rm DF}=n\overline{\rm EB}\)이다.
어떤 수가 어떤 수의 부분이라 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 부분이라고 하자. 그러면 부분에서 부분을 뺀 것은 어떤 수에서 다른 어떤 수를 뺀 것의 이전 것의 부분과 같다.
어떤 수 \(\overline{\rm AB}\)는 어떤 수 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이며 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac mn \overline{\rm CD}\)이며, 다른 어떤 수 \(\overline{\rm AE}\)가 다른 어떤 수 \(\overline{\rm CF}\)의 부분이며 이전 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AE}= \frac mn \overline{\rm CF}\)이다. 그리고 두 나머지 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)는 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이며 이전의 같은 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BE}=\frac mn \left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\right)=\frac mn \overline{\rm FD}\)이다.
어떤 수가 어떤 수의 약수라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 첫째 수가 셋째 수에 대해 어떤 약수, 어떤 부분이 되든지 둘째 수는 넷째 수에 대해 이전과 같은 약수와 같은 부분이 된다.
수 \(a\)가 수 \(\overline{\rm BC}\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\)라 하자. \(d\ne a\)인 수 \(d\)가 수 \(\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EF}=nd\)라 하자. 그러면 바꾼 비례식 \(a\)가 \(d\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(a=\frac pq d\)이라 하면, \(\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm EF}\)의 부분이고 이전 같은 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=\frac pq\overline{\rm EF}\)이다.
어떤 수가 어떤 수의 부분이라 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 이전과 같은 부분이라고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 첫째 수가 셋째 수에 어떤 부분이 되든지 둘째 수가 넷째 수에 해하여 이전과 같은 부분이다.
수 \(\overline{\rm AB}\)가 수 \(c\)의 부분이고 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac mn c\)라 하자. \(\overline{\rm DE}\ne \overline{\rm AB}\)인 수 \(\overline{\rm DE}\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm DE}=\frac mn f\)이다. 그러면 바꾼 비례식에 의해서, \(\overline{\rm AB}\)가 \(\overline{\rm DE}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac pq\overline{\rm DE}\)이든지 \(c\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(c=\frac pq f\)이다.
전체와 전체의 비율은 뺀 수와 뺀 수의 비율과 같고 하자. 그러면 나머지와 나머지의 비율도 전체와 전체 비율과 같다.
\(\overline{\rm AB}\)의 부분을 \(\overline{\rm BE}\)와 \(\overline{\rm DC}\)의 부분을 \(\overline{\rm DF}\)라 하고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)라 하자. 그러면 두 나머지 수 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.
여러 개의 서로 비례하는 수들이 있다. 그러면 앞의 수들을 모두 더한 것과 뒤의 수들을 모든 더한 것의 비율은 그 수들 중 비례 하는 수들 중 한 쌍의 비례 하는 수의 비와 같다.
여러 개의 서로 비례하는 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족한다. 그러면 \(\left(a+c\right):\left(b+d\right)=a:b\)이다.
네 수들이 서로 비례한다. 그러면 바꾼 비례식도 성립한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)가 성립하면 \(a:c=b:d\)가 성립한다.
어떤 수들이 몇 개가 있고 또 다른 어떤 수들이 같은 개수가 있다고 하자. 두 쌍의 비율이 서로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 비율은 같다.
어떤 수 만큼 같은 개수의 수 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 수 \(d\), \(e\), \(f\)가 있다. \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)라고 하자. 그러면 \(a:c=d:f\)이다.
단위 수(1)이 어떤 수를 측정하는 것과 같이 같은 방법으로 다른 어떤 수가 또 다른 어떤 수를 단위수와 같이 측정한다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 단위수가 세 번째 수를 측정하는 것과 같이 두 번째 수가 네 번째 수를 측정할 수 있다.
단위 수 \(a\)가 어떤 수 \(\overline{\rm BC}\)를 측정한다고 하자. 다른 어떤 수 \(d\)가 또 다른 어떤 수 \(\overline{\rm EF}\)를 이전과 같은 방법으로 측정한다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 \(a\)가 \(d\)를 측정하는 것과 같이 \(\overline{\rm BC}\)가 \(\overline{\rm EF}\)를 측정할 수 있다.
두 수를 서로 곱해서 어떤 수를 만들면, 이때 만들어진 수들의 크기는 서로 같다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\), \(d=ba\)라 하자. 그러면 \(c=d\)이다.
어떤 수에다 두 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 곱하는 수들과 같은 비율이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(d=ab\), \(e=ac\)라 하자. 그러면 \(b:c=d:e\)이다.
두 수에 어떤 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 처음 수 두 수의 비율과 같은 비율이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여,\(d=ac\), \(e=bc\)라 하자. 그러면 \(a:b=ac:bc\)이다.
네 수 들이 서로 비례하면, 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱의 수는 두 번째 수와 세 번째 수의 곱의 수와 서로 같다. 그리고 역으로 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱의 수는 두 번째 수와 세 번째 수의 곱의 수와 서로 같으면 이 네 수들은 서로 비례한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(e=ad\), \(f=bc\)라 하자. 그러면 \(e=f\)이다. 그리고 역으로 \(e=f\)라하면 \(a:b=c:d\)이다.
비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 비율이 같은 수들을 같은 배수의 비율이다. 즉, 큰 수가 큰 수의 약수인 것과 같이 작은 수가 작은 수의 약수이며 이전과 같은 약수의 개수를 갖는다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=\overline{\rm CD}:\overline{\rm EF}\)인 수들 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\) 중 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\)가 가장 작은 비율을 갖는다고 하자. 그러면 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=n\overline{\rm CD}\)에 대하여, \(b=n\overline{\rm EF}\)이다.
서로소인 두 수는 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
서로소인 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b\)와 같은 비율 중에서 \(a\), \(b\)가 가장 작은 두 수이다.
같은 비율인 두 수들 중에 가장 작은 수는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b\)와 같은 가장 작은 수가 \(a\), \(b\)라 하면 두 수 \(a\), \(b\)는 서로소이다.
두 수가 서로소라고 하자. 어떤 수가 두 수 중 한 수의 약수이면 어떤 수는 나머지 한 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하고 \(c\)가 \(a\)의 약수라고 하자. 그러면 \(b\), \(c\)는 서로소이다.
두 수가 어떤 수와 각각 서로소라고 하자. 그러면 그 두수를 곱한 것도 어떤 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 각각 어떤 수 \(c\)와 서로소라고 하고, \(d=ab\)라 하자. 그러면 \(c\), \(d\)는 서로소이다
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 한 수의 제곱수는 남은 한 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)를 서로소라고 하자. \(c=a^2\)이라 하자. 그러면 \(c\), \(b\)는 서로소이다.
두 수가 다른 두 수와 모두 서로소라고 하자. 그러면 각각 곱한 두 수는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 다른 두 수 \(c\), \(d\)와 모두 서로소라고 하자. \(e=ab\), \(f=cd\)라 하자. 그러면 \(e\), \(f\)는 서로소이다.
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수 각각의 제곱수들은 서로소이다. 그리고 두 수의 각각의 세제곱수들은 서로소이다. 이 후로 계속되는 두 거듭제곱수도 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 서로소라고 하자. 그러면 \(c=a^2\), \(e=b^2\)이라 하면 \(c\), \(e\)는 서로소이다. 그리고 \(d=ac=a^3\), \(f=be=b^3\)이라고 하면 \(d\), \(f\)도 서로소이다.
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수를 더한 수는 두 수와 각각 서로소이다. 역으로 두 수를 더한 수가 두 수 중 한 수와 서로소이면 두 수는 서로소이다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 서로소라고 하자. \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)와 각각 서로소이다. 역으로 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 서로소이다.
두 수를 곱한 수의 약수가 소수라고 하자. 그러면 어떤 소수가 두 수 중 한 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\)라 하자. 그리고 소수 \(d\)가 \(c\)의 약수라 하자. 그러면 \(d\)는 \(a\), \(b\) 중 한 수의 약수이다.
여러 수들이 주어졌을 때, 그들과 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
여러 수들을 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, \(a:b:c\)와 같은 비율을 가지면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
두 수가 어떤 수의 약수이면, 그 두수의 최소공배수도 그 어떤 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다. 그러고 \(a\), \(b\)의 최소공배수를 \(e\)라 하자. 그러면 \(e\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다.
어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 어떤 수는 다른 어떤 수의 약수인 약수가 존재한다.
어떤 수 \(b\)는 다른 어떤 수 \(a\)의 약수라고 하자. 그러면 \(c=\frac ab\)는 \(a\)의 약수이다.
어떤 수를 다른 어떤 수로 나눈 수도 어떤 수의 약수이면 다른 어떤 수도 어떤 수의 약수이다.
어떤 수 \(a\)가 어떤 약수 \(\frac ac\)를 가진다. 그러면 \(c\)도 \(a\)의 약수이다.