VII 권
명제
명제 35
두 수가 어떤 수의 약수이면, 그 두수의 최소공배수도 그 어떤 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다. 그러고 \(a\), \(b\)의 최소공배수를 \(e\)라 하자. 그러면 \(e\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다.
VII 권
명제
두 수가 어떤 수의 약수이면, 그 두수의 최소공배수도 그 어떤 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다. 그러고 \(a\), \(b\)의 최소공배수를 \(e\)라 하자. 그러면 \(e\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다. 그러고 \(a\), \(b\)의 최소공배수를 \(e\)라 하자.
그러면 \(e\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수임을 보여야 한다.
\(e\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 약수가 아니라고 하자. 그러면 \(e\)가 \(\overline{\rm DF의}\) 약수라 하고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm DF}=ne\)이고 \(\overline{\rm CF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm DF}< e\)라고 하자.
\(a\), \(b\)는 \(e\)의 약수이고, \(e\)는 \(\overline{\rm DF}\)의 약수이므로 \(a\), \(b\)는 \(\overline{\rm DF}\)의 약수이다.
그러므로 \(a\), \(b\)는는 \(\overline{\rm CF}\)의 약수이다. 그런데 \(\overline{\rm CF}< e\)이므로 이것은 모순이다.
그러므로 \(e\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 약수가 아니라는 것이 거짓이므로 \(e\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이다.
그러므로 두 수가 어떤 수의 약수이면, 그 두수의 최소공배수도 그 어떤 수의 약수이다.
Q.E.D.
\(a\), \(b\) 모두 \(c\)를 나눈다고 가정하자(약수라고 하자.). e\(가\) \(a\), \(b\)의 최소공배수라 하자. \(e\)가 \(c\)를 나누지 않는다고 가정하자. 그런 다음 어떤 \(n\)에 대하여 \(c = ne + f\)을 만족하고 \(f< e\)가 되도록 하자. \(a\)와 \(b\) 모두 \(c\)와 \(e\)를 나누기 때문에, 또한 \(a\)와 \(b\) 모두가 최소공배수 \(e\)보다 작은 \(f\)를 나눈다. 이것은 모순이다. 따라서 최소공배수 e는 \(c\)를 나눈다.
이 명제는 다음 명제와 [VIII권 명제 4]에서 사용된다.