VII 권
명제
명제 25
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 한 수의 제곱수는 남은 한 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)를 서로소라고 하자. \(c=a^2\)이라 하자. 그러면 \(c\), \(b\)는 서로소이다.
VII 권
명제
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 한 수의 제곱수는 남은 한 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)를 서로소라고 하자. \(c=a^2\)이라 하자. 그러면 \(c\), \(b\)는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)를 서로소라고 하자. \(c=a^2\)이라 하자.
그러면 \(c\), \(b\)는 서로소임을 보여야 한다.
\(d=a\)라 하자.
\(a\), \(b\)는 서로소이고 \(d=a\)이므로 \(b\), \(d\)는 서로소이다. 그러므로 \(a\), \(d\)는 각각 \(b\)와 서로소이다. 그러므로 \(ad\)는 \(b\)와 서로소이다. [VII권 명제 24]
그런데 \(c=ad\)이다. 그러므로 \(c\), \(b\)는 서로소이다.
그러므로 두 수가 서로소라고 하자. 그러면 한 수의 제곱수는 남은 한 수와 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제의 대수적 표현은 다음과 같다.
\(a\), \(b\)가 서로소라면, \(a^2\), \(b\)도 서로소이다.
이 명제는 이전 명제의 특별한 경우이고 진술이 거의 필요하지 않아 보인다. 이 명제는 [VII권 명제 27]과 [IX권 명제 15]에서 사용된다.