VII 권
정의
정의 15
어떤 수에 다른 어떤 수를 ‘곱한다’는 것은 다른 어떤 수를 어떤 수의 단위수 개수만큼 어떤 수를 더하는 것이다.
정의 16
어떤 두 수를 곱해서 만들어진 새로운 수를 ‘평면수(plane number)’이라 하고 어떤 두 수를 각각 ‘면’의 ‘변(side)’이라 한다.
정의 17
어떤 세 수를 곱해서 만들어진 새로운 수를 ‘입체수(solid number)’라 하고 어떤 세 수를 각각 ‘입체’의 ‘변’이라 한다.
정의 18
‘제곱수’는 같은 수를 두 번 곱해서 만든 수이다. 또는 같은 크기로 둘로 나눌 수 있는 수이다.
정의 19
‘세제곱수’는 같은 수를 세 번 곱해서 만든 수이다. 또는 같은 크기로 세 개로 나눌 수 있는 수이다.
부연설명
유클리드는 덧셈과 뺄셈을 정의하지는 않았다. 덧셈으로 뺄셈에 대한 공식적인 정의를 할 수는 있지만, 그러한 연산은 임의의 숫자 \(a\)는 단위 \(u\)의 배수인 것과 같은 방식으로 이해되는 것으로 가정할 수 있다.
[정의 15]는 덧셈의 관점에서 곱셈을 일종의 합성으로 정의한다. 예를 들어, \(a= 4u\)와 \(b= 5u\)라고 하자. \(ab\)는 \(a\)가 4개의 단위로 구성되어 있으므로 \(b\)를 4번 더하는 것과 같다. 즉 , \(ab=5u+5u+5u+ 5u\)이다.
유클리드는 덧셈을 이진 연산으로 생각하지 않고 인수가 많은 연산으로 생각했다. [정의 15]는 곱셈의 공식 연산을 정의하기 위해 비공식적인 덧셈 연산을 사용한다.
[정의 17]은 입체수에 대한 정의이다. 예를 들어 \(18=3\times 3\times 2\)이고 세 변이 \(3\), \(3\), \(2\)인 입체수로 표시된다. 입체 수는 3차원에서 점이나 정육면체의 구성으로 나타낼 수 있다.
제곱수과 세제곱수는 특정 대칭 평면과 입체수로 설명된다. 물론 \(64=8\times 8=4\times 4\times4\)와 같이 동시에 제곱수와 세제곱수가 될 수 있다.