VII 권
명제
명제 12
여러 개의 서로 비례하는 수들이 있다. 그러면 앞의 수들을 모두 더한 것과 뒤의 수들을 모든 더한 것의 비율은 그 수들 중 비례 하는 수들 중 한 쌍의 비례 하는 수의 비와 같다.
여러 개의 서로 비례하는 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족한다. 그러면 \(\left(a+c\right):\left(b+d\right)=a:b\)이다.
VII 권
명제
여러 개의 서로 비례하는 수들이 있다. 그러면 앞의 수들을 모두 더한 것과 뒤의 수들을 모든 더한 것의 비율은 그 수들 중 비례 하는 수들 중 한 쌍의 비례 하는 수의 비와 같다.
여러 개의 서로 비례하는 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족한다. 그러면 \(\left(a+c\right):\left(b+d\right)=a:b\)이다.
여여러 개의 서로 비례하는 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족한다.
그러면 \(\left(a+c\right):\left(b+d\right)=a:b\)임을 보여야 한다.
\(a:b=c:d\)이므로 \(a\)가 \(b\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(b=na\)이든 \(c\)는 \(d\)의 약수이고 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(d=nc\)이거나 \(a\)가 \(b\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(b=\frac pq a\)이든 \(c\)는 \(d\)의 부분이고 이전의 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(d=\frac pq c\)이다. [VII권 명제 20]
그러므로 \(a+c\)는 \(b+d\)의 약수이고 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(b+d=n\left(a+c\right)\)이거나 \(a+c\)가 \(b+d\)의 부분이고 이전의 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(b+d=\frac pq\left(a+c\right)\)이다. [VII권 명제5, 명제 6]
그러므로 \(a:b=\left(a+c\right):\left(b+d\right)\)이다. [VII권 정의 20]
그러므로 여러 개의 서로 비례하는 수들이 있다. 그러면 앞의 수들을 모두 더한 것과 뒤의 수들을 모든 더한 것의 비율은 그 수들 중 비례 하는 수들 중 한 쌍의 비례 하는 수의 비와 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 명제 12]를 일반적인 대수적으로 표현한 것으로 다음과 같다.
\(a_1:b_1=a_2:b_2=\cdots=a_n:b_n\)이면 \(\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)=a_i:b_i\) (단, \(i=1,\,2,\,\cdots,\, n\))이다.
이 명제에서는 \(n=2\)일 때 증명된 것이다.
이 명제는 [VII권 명제 15], [VII권 명제 20], [IX권 명제 35]에서 사용된다.