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증명

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두 수 \(a\), \(b\)가 각각 어떤 수 \(c\)와 서로소라고 하고, \(d=ab\)라 하자.

그러면 \(c\), \(d\)는 서로소임을 보여야한다.

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\(c\), \(d\)가 서로소가 아니라고 하자. 그리고 \(c\), \(d\)의 공약수를 \(e\)라고 하자.

\(a\), \(c\)가 서로소이고 \(e\)는 \(c\)의 약수이므로 \(a\), \(e\)는 서로소이다. [VII권 명제 23]

단위 수 \(u\)에 대하여, 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(d=ne\)이듯이 같은 이전 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(f=nu\)라고 하자. [VII권 명제 16]

그러므로 \(d=ef\)이다. [VII권 정의 15] 그런데 \(d=ab\)이다. 그러므로 \(ef=ab\)이다.

네 수 중 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱과 두 번째 수와 세 번째 수의 곱이 같으면 이 네 수는 비례한다. [VII권 명제 19] 그러므로 \(e:a=b:f\)이다.

그런데 \(a\), \(e\)는 서로소이다. 서로소인 두 수는 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이다. [VII권 명제 21] 그리고 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 비율이 같은 수들을 같은 방법으로 측정한다. 즉, 큰 수가 큰 수를 측정하는 것과 같이 작은 수가 작은 수를 같은 방법으로 측정한다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(e\)는 \(b\)의 약수이다. 그런데 \(e\)는 \(c\)의 약수이다. 그러므로 \(e\)는 \(b\), \(c\)의 공약수이다. 그런데 기서은 \(b\), \(c\)가 서로소인 것에 모순이다. [VII권 정의 12]

그러므로 \(c\), \(d\)의 공약수는 존재하지 않는다. 그러므로 \(c\), \(d\)는 서로소이다.

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그러므로 두 수가 어떤 수와 각각 서로소라고 하자. 그러면 그 두수를 곱한 것도 어떤 수와 서로소이다.

Q.E.D.

부연설명

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두 수 \(a\), \(b\)가 각각 \(c\)와 서로소라고 하면 \(ab\)는 \(c\)와 서로소이다.

\(ab\)가 \(c\)와 서로소가 아니라고 하자. 그러면 \(ab\)와 \(c\)의 공약수 \(e\left(>1\right)\)가 존재한다. \(e\)는 \(c\)의 약수이고, \(c\)는 \(a\)와 서로소이므로 [VII권 명제 23]에 의해서 \(e\)는 \(a\)와 서로소이다.

\(f\)를 \(f=\frac{ab}e\)라고 하자. \(e:a=b:f\)이다. e와 a는 서로소이므로 [VII권 명제 21]에 의해서, \(e:a\)가 가장 작은 비율의 쌍이다. 그러므로 [VII권 명제 20]에 의해서 \(e\)는 \(b\)의 약수이다.

그러나 \(e\)는 \(b\)와 \(c\)의 각각의 약수이므로 공약수이다. 이것은 \(b\), \(c\)가 서로소라는 것에 모순이다.

그러므로 \(ab\)는 \(c\)와 서로소이다.

이 명제는 다음 두 명제와 [IX권 명제 15]에서 사용된다.