VII 권
명제
명제 23
두 수가 서로소라고 하자. 어떤 수가 두 수 중 한 수의 약수이면 어떤 수는 나머지 한 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하고 \(c\)가 \(a\)의 약수라고 하자. 그러면 \(b\), \(c\)는 서로소이다.
VII 권
명제
두 수가 서로소라고 하자. 어떤 수가 두 수 중 한 수의 약수이면 어떤 수는 나머지 한 수와 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하고 \(c\)가 \(a\)의 약수라고 하자. 그러면 \(b\), \(c\)는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하고 \(c\)가 \(a\)의 약수라고 하자.
그러면 \(b\), \(c\)는 서로소임을 보여야 한다.
\(b\), \(c\)가 서로소가 아니라고 하자. 그러면 \(b\), \(c\)의 공약수 \(d\)가 존재한다.
\(d\)는 \(c\)의 약수이고 \(c\)는 \(a\)의 약수이므로 \(d\)는 \(a\)의 약수이다. 그런데 \(d\)는 \(b\)의 약수이다.
그러므로 \(d\)는 \(a\), \(b\)의 각각 약수이므로 공약수이다. 이것은 \(a\), \(b\)가 서로소라는 것에 모순이다. [VII권 정의 12]
그러므로 \(b\), \(c\)의 공약수는 존재하지 않는다. 그러므로 \(b\), \(c\)는 서로소이다.
그러므로 두 수가 서로소라고 하자. 어떤 수가 두 수 중 한 수의 약수이면 어떤 수는 나머지 한 수와 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제는 다음 명제에서 사용된다.