VII 권
명제
명제 4
어떤 두 수에 대하여, 작은 수는 큰 수의 약수이거나 부분이다.
두 수 \(a\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}< a\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 약수이거나 \(a\)의 부분이다.
VII 권
명제
어떤 두 수에 대하여, 작은 수는 큰 수의 약수이거나 부분이다.
두 수 \(a\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}< a\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 약수이거나 \(a\)의 부분이다.
두 수 \(a\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}< a\)이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 약수이거나 \(a\)의 부분임을 보여야 한다.
\(a\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 서로소이거나 서로소가 아니다.
1) \(a\)와 \(\overline{\rm BC}\)가 서로소이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm BC}\)를 단위 \(1\)로 나누자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\)를 나눈 각각의 단위 \(1\)은 \(a\)의 부분이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 부분이다. [VII권 정의 4]
2) \(a\)와 \(\overline{\rm BC}\)가 서로소가 아니라고 하자.
\(a\)가 \(\overline{\rm BC}\)에 의해 나누어떨어질 수도 있고, 나누어떨어지지 않을 수도 있다.
\(a\)가 \(\overline{\rm BC}\)에 의해 나누어떨어진다면 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 약수이다. 만약 나누어떨어지지 않는다면, \(a\)와 \(\overline{\rm BC}\)의 최대공약수를 \(d\)라 하자. [VII권 명제 2] 그러면 \(\overline{\rm BC}\)를 \(d\)와 같은 크기로 나누자. 나눈것들을 \(\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FC}\)라고 하자.
\(a\)는 \(d\)에 의해서 나누어떨어지므로 \(d\)는 \(a\)의 약수이다. 그런데 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm FC}=d\)이므로 \(\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FC}\) 모두 \(a\)의 약수이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 부분이다.
그러므로 어떤 두 수에 대하여, 작은 수는 큰 수의 약수이거나 부분이다.
Q.E.D.
이 명제는 \(b< a\)인 경우 \(b\)는 \(a\)의 부분이고, \(b\)가 \(a\)의 단위 분수인 부분이거나 \(b\)는 \(a\)의 단위 분수가 아닌 진분수인 부분임을 뜻한다.
예를 들어, \(2\)는 \(6\)의 부분으로 \(6\)의 단위 분수 \(\frac13\)이다. 그러나 \(4\)는 \(6\)의 부분으로 \(6\)의 \(\frac23\)인 부분이다.
이 명제는 [VII권 명제 20]에서 사용된다.