VII 권
명제
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수를 더한 수는 두 수와 각각 서로소이다. 역으로 두 수를 더한 수가 두 수 중 한 수와 서로소이면 두 수는 서로소이다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 서로소라고 하자. \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)와 각각 서로소이다. 역으로 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 서로소이다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 서로소라고 하자. \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)와 각각 서로소임을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)가 서로소가 아니라면 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)의 공약수 \(d\)가 존재한다.
\(d\)가 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)의 약수이므로 \(d\)는 나머지 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}-\overline{\rm AB}\)의 약수이다. 그런데 \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\)의 약수이다.
그러므로 \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 공약수이다. 그런데 이것은 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 서로소인 것에 모순이다. [VII권 정의 12]
그러므로 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)의 공약수는 존재하지 않는다. 따라서 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)는 서로소이다.
다음으로 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)가 서로소라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 서로소임을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)가 서로소가 아니라고 하자. \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 공약수 \(d\)가 존재한다.
\(d\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 약수이고, \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)이므로 \(d\)는 \(\overline{\rm AC}\)의 약수이다. 그런데 \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\)의 약수이다. 그러므로 \(d\)는 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)의 공약수이다.
그런데 이것은 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)는 서로소인 것에 모순이다. [VII권 정의 12] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 서로소이다.
그러므로 두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수를 더한 수는 두 수와 각각 서로소이다. 역으로 두 수를 더한 수가 두 수 중 한 수와 서로소이면 두 수는 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제는 [IX권 명제 15]에서 사용된다.