VII 권
명제
네 수 들이 서로 비례하면, 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱의 수는 두 번째 수와 세 번째 수의 곱의 수와 서로 같다. 그리고 역으로 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱의 수는 두 번째 수와 세 번째 수의 곱의 수와 서로 같으면 이 네 수들은 서로 비례한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(e=ad\), \(f=bc\)라 하자. 그러면 \(e=f\)이다. 그리고 역으로 \(e=f\)라하면 \(a:b=c:d\)이다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이라고 하자. \(e=ad\), \(f=bc\)라 하자.
그러면 \(e=f\)임을 보여야 한다.
\(g=ac\)라 하자. 그러면 \(e=ad\)이므로 \(c:d=g:e\)이다. [VII권 명제 17(V권 명제 11)] 그런데 \(c:d=a:b\)이다. 따라서 \(a:b=g:e\)이다.
\(g=ac\), \(f=bc\)이므로 \(a:b=g:f\)이다. [VII권 명제 18]
그런데 \(a:b=g:e\)이다. 그러므로 \(g:e=g:f\)이다. 그러므로 \(e=f\)이다. [V권 명제 11(V권 명제 9)]
역으로, 네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(e=ad\), \(f=bc\)이다. \(e=f\)라고 하자.
그러면 \(a:b=c:d\)임을 보여야 한다.
같은 방법으로, \(e=f\)이면 \(g:e=g:f\)이다. [V권 명제 7]
\(g:e=c:d\)이다. [VII권 명제 17] 그리고 \(g:f=a:b\)이다. [VII권 명제 18(V권 명제 11)] 그러므로 \(a:b=c:d\)이다.
그러므로 네 수 들이 서로 비례하면, 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱의 수는 두 번째 수와 세 번째 수의 곱의 수와 서로 같다. 그리고 역으로 첫 번째 수와 네 번째 수의 곱의 수는 두 번째 수와 세 번째 수의 곱의 수와 서로 같으면 이 네 수들은 서로 비례한다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다.
\(a:b=c:d\)의 필요충분조건은 \(ad=bc\)이다.
두 번 내린다. 이러한 것은 (V권 명제 11), (V권 명제 9), (V권 명제 7)로 표시되어 있으며 유사한 정당화이다. 크기에 대한 [V권]의 명제들 중 일부는 [VII권]에서 증명된 수에 대해 언급되어 있으며, 특히 [V권 명제 16]과 [VII권 명제 13]이 대응하고, [V권 명제 22]와 [VII권 명제 14]가 대응한다. 그러나 [V권 명제 11], [V권 명제 9], [V권 명제 7]과 같은 [VII권]의 많은 명제들은 [V권]에서 유사한 명제는 없다.
이 명제는 [VII권 명제 24]에서 처음 사용되어지고 [VII권], [IX권]에서 자주 사용된다.