VII 권
명제
단위 수(1)이 어떤 수를 측정하는 것과 같이 같은 방법으로 다른 어떤 수가 또 다른 어떤 수를 단위수와 같이 측정한다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 단위수가 세 번째 수를 측정하는 것과 같이 두 번째 수가 네 번째 수를 측정할 수 있다.
단위 수 \(a\)가 어떤 수 \(\overline{\rm BC}\)를 측정한다고 하자. 다른 어떤 수 \(d\)가 또 다른 어떤 수 \(\overline{\rm EF}\)를 이전과 같은 방법으로 측정한다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 \(a\)가 \(d\)를 측정하는 것과 같이 \(\overline{\rm BC}\)가 \(\overline{\rm EF}\)를 측정할 수 있다.
단위 수 \(a\)가 어떤 수 \(\overline{\rm BC}\)를 측정한다고 하자. 다른 어떤 수 \(d\)가 또 다른 어떤 수 \(\overline{\rm EF}\)를 이전과 같은 방법으로 측정한다고 하자.
그러면 바꾼 비례식에 의해서 \(a\)가 \(d\)를 측정하는 것과 같이 \(\overline{\rm BC}\)가 \(\overline{\rm EF}\)를 측정할 수 있음을 보여야 한다.
단위 수 \(a\)가 \(\overline{\rm BC}\)를 측정하는 것과 같이 같은 방법으로 \(d\)가 \(\overline{\rm EF}\)를 측정하고 있다. 그러므로 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\)인 것과 같이 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EF=nd\)이다.
\(\overline{\rm BC}\)를 단위수 \(a\)의 크기로 나누고 그것을 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm HC}\)라 하자.(이 명제에서는 \(n=3\)이다.) 그리고 \(\overline{\rm EF}\)를 \(d\)와 같은 크기로 나누고 그것을 \(\overline{\rm EK}\), \(\overline{\rm KL}\), \(\overline{\rm LF}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm HC}\)의 개수와 \(\overline{\rm EK}\), \(\overline{\rm KL}\), \(\overline{\rm LF}\)의 개수는 \(n\)개로 같다.
\(\overline{\rm BG}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HC}=a\left(=1\right)\)이다. 그리고 \(\overline{\rm EK}=\overline{\rm KL}=\overline{\rm LF}\)이다. 그리고 단위 수 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GH}\), \(\overline{\rm HC}\)의 개수와 수 \(\overline{\rm EK}\), \(\overline{\rm KL}\), \(\overline{\rm LF}\)의 개수는 \(n\)개로 같다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}:\overline{\rm EK}=\overline{\rm GH}:\overline{\rm KL}\)이고, \(\overline{\rm GH}:\overline{\rm KL}=\overline{\rm HC}:\overline{\rm LF}\)이다.
그러므로 \(\left(\overline{\rm BG}+\overline{\rm GH}+\overline{\rm HC}\right):\left(\overline{\rm EK}+\overline{\rm KL}+\overline{\rm LF}\right)=\overline{\rm BG}:\overline{\rm EK}\)이다. [VII권 명제 12] 그러므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BG}+\overline{\rm GH}+\overline{\rm HC}\)이고 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EK}+\overline{\rm KL}+\overline{\rm LF}\)이므로 \(\overline{\rm BG}:\overline{\rm EK}=\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}\)이다.
그런데 단위 수 \(\overline{\rm BG}=a\left(=1\right)\)이고 \(\overline{\rm EK}=d\)이다. 그러므로 \(a:d=\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}\)이다.
그러므로 \(a\)가 \(d\)를 측정하는 것과 같은 방법으로 \(\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm EF}\)를 측정한다.
그러므로 단위 수(\(1\))이 어떤 수를 측정하는 것과 같이 같은 방법으로 다른 어떤 수가 또 다른 어떤 수를 단위수와 같이 측정한다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 단위수가 세 번째 수를 측정하는 것과 같이 두 번째 수가 네 번째 수를 측정할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 \(u\)를 단위 수라 하고 \(a=nu\), \(e=md\), \(d=mu\), \(e=mb\)이면 다음과 같은 대수적 표현으로 나타낼 수 있다
\(n\left(mu\right)=m\left(nu\right)\)
이 명제는 단위 수 \(u\)에 대한 곱셈의 교환법칙을 나타내는 것이다.
아래 [VII권 명제 12]
\(a_1:b_1=a_2:b_2=\cdots=a_n:b_n\)이면 \(\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)=a_i:b_i\) (단, \(i=1,\,2,\,\cdots,\, n\))
에서 \(a_i\)들을 모두 \(u\)라 하고 \(b_i\)를 모두 \(d\)로 나타내면, \(u:d=nu:nd\)이다.
그러나 \(d=mu\)이다. 그러므로 \(nd=m\left(nu\right)\)이다.
이 명제는 다음 명제에서 사용되고 [VII권], [IX권]에서 조금 사용된다.