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증명
어떤 수 \(\overline{\rm AB}\)는 어떤 수 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이며 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm
AB}=\frac mn \overline{\rm CD}\)이며, 다른 어떤 수 \(\overline{\rm AE}\)가 다른 어떤 수 \(\overline{\rm CF}\)의 부분이며
이전 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AE}= \frac mn \overline{\rm CF}\)이다. 그리고 두 나머지 \(\overline{\rm
EB}\), \(\overline{\rm FD}\)는 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm
CD}-\overline{\rm CF}\)이다.
그러면 \(\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이며 이전의 같은 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm
EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BE}=\frac mn \left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\right)=\frac mn \overline{\rm
FD}\)임을 보여야 한다.
GH=AB인 수 GH를 잡자.
그러면 \(\overline{\rm GH}\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이며 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm GH}=\frac mn
\overline{\rm CD}\)이든 간에, \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm CF}\)의 부분이면 이전의 같은 어떤 수 \(m\), \(n\)에
대하여 \(\overline{\rm AE}=\frac mn \overline{\rm CF}\)이다.
\(\overline{\rm GH}\)를 \(\overline{\rm GK}=\overline{\rm KH}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)인 \(\overline{\rm GK}\),
\(\overline{\rm KH}\)로 나누자. 그리고 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AL}=\overline{\rm LE}=\frac 1n \overline{\rm
CF}\)인 \(\overline{\rm AL}\), \(\overline{\rm LE}\)로 나누자. 그러면 \(\overline{\rm GK}\), \(\overline{\rm KH}\) 개수는
\(\overline{\rm AL}\), \(\overline{\rm LE}\) 개수가 \(m\)개로 같다.(증명에서는 m=2이다.)
\(\overline{\rm GK}\)가 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm GK}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)이든 간에, \(\overline{\rm
AL}\)은 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AL}=\frac 1n \overline{\rm CF}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm
CD}>\overline{\rm CF}\)이므로 \(\overline{\rm GK}>\overline{\rm AL}\)이다.
\(\overline{\rm GM}=\overline{\rm LA}\)인 수 \(\overline{\rm GM}\)을 잡자.
그러면 \(\overline{\rm GK}\)가 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm GK}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)이든 간에,
\(\overline{\rm GM}\)은 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm GM}=\frac 1n \overline{\rm CF}\)이다. 그러므로 두 나머지
\(\overline{\rm MK}=\overline{\rm GK}-\overline{\rm GM}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)는
\(\overline{\rm MK}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이며 이전의 \(\overline{\rm GK}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)인 어떤 수
\(n\)에 대하여 나머지 \(\overline{\rm MK}=\frac 1n \overline{\rm FD}\)이다. [VII권 명제 7]
\(\overline{\rm KH}\)가 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm KH}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)이든 간에, \(\overline{\rm
EL}\)은 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EL}=\frac 1n \overline{\rm CF}\)이고, \(\overline{\rm CD}>\overline{\rm
CF}\)이므로 \(\overline{\rm HK}>\overline{\rm EL}\)이다.
\(\overline{\rm EL}=\overline{\rm KN}\)인 수 \(\overline{\rm KN}\)을 잡자.
그러면 \(\overline{\rm KN}\)가 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm KN}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)이든 간에,
\(\overline{\rm KN}\)은 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm KN}=\frac 1n \overline{\rm CF}\)이다. 그러므로 두 나머지
\(\overline{\rm NH}=\overline{\rm KH}-\overline{\rm KN}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)는
\(\overline{\rm NH}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이며 이전 \(\overline{\rm KN}=\frac 1n \overline{\rm CD}\)인 어떤 수
\(n\)에 대하여 나머지 \(\overline{\rm NH}=\frac 1n \overline{\rm FD}\)이다. [VII권 명제 7]
그런데 두 나머지 \(\overline{\rm MK}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여 \(\overline{\rm GK}=\frac 1n\overline{\rm CD}\)인
같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm MK}=\frac 1n\overline{\rm FD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm MK}+\overline{\rm
NH}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이고 \(\overline{\rm MK}+\overline{\rm NH}=\frac mn \overline{\rm FD}\)인 것과 같이,
\(\overline{\rm HG}\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이고 \(\overline{\rm HG}=\frac mn\overline{\rm CD}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm MK}+\overline{\rm NH}=\overline{\rm EB}\)이고 \(\overline{\rm HG}=\overline{\rm BA}\)이다. 그러므로
\(\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이고 \(\overline{\rm AB}=\frac mn\overline{\rm CD}\)인 같은 어떤 수
\(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EB}=\frac mn\overline{\rm FD}\)이다.
그러므로 어떤 수가 어떤 수의 부분이라 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 부분이라고 하자. 그러면 부분에서 부분을 뺀
것은 어떤 수에서 다른 어떤 수를 뺀 것의 이전 것의 부분과 같다.
Q.E.D.
