Proposition 33 of Book VII

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증명

여러 수들을 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여, $a : b : c$ 와 같은 비율을 가지면서 가장 작은 수들을 구할 수 있음을 보여야 한다.

1) $a$ , $b$ , $c$ 는 서로소이거나 아니면 서로소가 아니다.

$a$ , $b$ , $c$ 가 서로소라고 하자. 그러면 $a$ , $b$ , $c$ 는 $a : b : c$ 의 비율과 같은 수들에서 가장 작은 수들이다. [VII권 명제 21]

2) $a$ , $b$ , $c$ 가 서로소가 아니라고 하자. 그러면 $a$ , $b$ , $c$ 의 최대공약수를 $d$ 라고 하자. [VII권 명제 3] 그리고 d는 $a$ , $b$ , $c$ 각각 약수이고 어떤 수 $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ 에 대하여 $a = n_{1} d$ , $b = n_{2} d$ , $c = n_{3} d$ 이다. $u$ 를 단위수라 하고, $e = n_{1} u$ , $f = n_{2} u$ , $g = n_{3} u$ 라고 하자.

어떤 수 $m$ 에 대하여 $d = m u$ 라 하자. 그러면 $e$ , $f$ , $g$ 는 각각 $a$ , $b$ , $c$ 의 약수이고 어떤수 $m$ 에 대하여 $a = n_{1} d = n_{1} (m u) = m (n_{1} u) = m e$ , $b = n_{2} d = n_{2} (m u) = m (n_{2} u) = m f$ , $c = n_{3} d = n_{3} (m u) = m (n_{3} u) = m g$ 이다. [VII권 명제 16] 그러므로 $e : f : g = a : b : c$ 이다. [VII권 정의 20]

다음으로 $e$ , $f$ , $g$ 가 $e : f : g = a : b : c$ 인 비율 중 가장 작은 수 임을 보여야 한다.

$e$ , $f$ , $g$ 가 $e : f : g = a : b : c$ 인 비율 중 가장 작은 수가 아니라고 하자. 그러면 $e$ , $f$ , $g$ 보다 더 작은 수 $h$ , $k$ , $l$ 이 $h : k : l = a : b : c$ 라고 하자. 그러면 h, k, l은 각각 $a$ , $b$ , $c$ 의 약수이며 어떤 수 $n$ 에 대하여 $a = n h$ , $b = n k$ , $c = n l$ 이다.

$a = n h$ 인 어떤 수 $n$ 에 대하여 어떤 수 $m^{'} = n u$ 라 하자. 그러면 같은 $n$ 에 대하여 $b = n k$ , $c = n l$ 이다. 어떤 수 $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ 에 대하여 $h = p_{1} u$ , $k = p_{2} u$ , $l = p_{3} u$ 이고, $a = n (p_{1} u) = p_{1} (n u) = p_{1} m^{'}$ , $b = n (p_{2} u) = p_{2} (n u) = p_{2} m^{'}$ , $c = n (p_{3} u) = p_{3} (n u) = p_{3} m^{'}$ 이다. [VII권 명제 16] 그러므로 $m ‘$ 은 $a$ , $b$ , $c$ 의 공약수이다.

$h$ 는 $m ‘ = n u$ 인 어떤 수 $n$ 에 대하여 $a = n^{'} h$ 이므로 $h m ‘ = a$ 이다. [VII권 정의 15] 같은 이유로 $e d = a$ 이다.

그러므로 $a d = h m$ 이다. 그러므로 $e : h = m : d$ 이다. [VII권 명제 19]

그런데 $e > h$ 이다. 그러므로 $m > d$ 이다. 그리고 $m$ 은 $a$ , $b$ , $c$ 의 공약수이다. 그런데 이것은 모순이다. 왜냐하면 가정에서 $d$ 가 $a$ , $b$ , $c$ 의 최대공약수이기 때문이다.

그러므로 $e$ , $f$ , $g$ 보다 더 작으면서 $a : b : c$ 의 비율과 같은 수는 없다. 그러므로 $e$ , $f$ , $g$ 가 $e : f : g = a : b : c$ 이면서 가장 작은 수이다.

그러므로 여러 수들이 주어졌을 때, 그들과 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.

Q.E.D.

부연설명

세 개의 수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여, 이들의 최대공약수를 $d$ 라 하자. $a = m d$ 라 하자. $u$ 는 단위 수이고 $e = m u$ 라 하자. 마찬가지로, 만약 $b = n d$ 라면, $f = n u$ 라 하자. 그리고 만약 $c = o d$ 라면 $g = o u$ 라 하자.(유클리드는 나눗셈을 정의하지 않았지만, 본질적으로 $e = \frac{a}{d}$ , $f = \frac{b}{d}$ , $g = \frac{c}{d}$ 로 놓았다). 그러면 $a = k d$ , $b = k e$ , $c = k g$ 이다.(단, $d = k u$ ). 따라서 $a : b : c = e : f : g$ 이다.

증명서의 나머지 부분은 더 작은 수들이 a:b:c와 같은 비율이 아니라는 것을 증명한다

이 명제는 다음 명제와 [VIII권 명제 6]에서 사용되어 [VIII권]의 여러 명제에 사용된다.