VII 권
명제
명제 3
여러 수들이 주어졌을 때, 그들과 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
여러 수들을 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, \(a:b:c\)와 같은 비율을 가지면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
VII 권
명제
여러 수들이 주어졌을 때, 그들과 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
여러 수들을 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, \(a:b:c\)와 같은 비율을 가지면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
여러 수들을 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, \(a:b:c\)와 같은 비율을 가지면서 가장 작은 수들을 구할 수 있음을 보여야 한다.
1) \(a\), \(b\), \(c\)는 서로소이거나 아니면 서로소가 아니다.
\(a\), \(b\), \(c\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)는 \(a:b:c\)의 비율과 같은 수들에서 가장 작은 수들이다. [VII권 명제 21]
2) \(a\), \(b\), \(c\)가 서로소가 아니라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수를 \(d\)라고 하자. [VII권 명제 3] 그리고 d는 \(a\), \(b\), \(c\) 각각 약수이고 어떤 수 \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\)에 대하여 \(a=n_1d\), \(b=n_2d\), \(c=n_3d\)이다. \(u\)를 단위수라 하고, \(e=n_1u\), \(f=n_2u\), \(g=n_3u\)라고 하자.
어떤 수 \(m\)에 대하여 \(d=mu\)라 하자. 그러면 \(e\), \(f\), \(g\)는 각각 \(a\), \(b\), \(c\)의 약수이고 어떤수 \(m\)에 대하여 \(a=n_1d=n_1\left(mu\right)=m\left(n_1u\right)=me\), \(b=n_2d=n_2\left(mu\right)=m\left(n_2u\right)=mf\), \(c=n_3d=n_3\left(mu\right)=m\left(n_3u\right)=mg\)이다. [VII권 명제 16] 그러므로 \(e:f:g=a:b:c\)이다. [VII권 정의 20]
다음으로 \(e\), \(f\), \(g\)가 \(e:f:g=a:b:c\)인 비율 중 가장 작은 수 임을 보여야 한다.
\(e\), \(f\), \(g\)가 \(e:f:g=a:b:c\)인 비율 중 가장 작은 수가 아니라고 하자. 그러면 \(e\), \(f\), \(g\) 보다 더 작은 수 \(h\), \(k\), \(l\)이 \(h:k:l=a:b:c\)라고 하자. 그러면 h, k, l은 각각 \(a\), \(b\), \(c\)의 약수이며 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nh\), \(b=nk\), \(c=nl\)이다.
\(a=nh\)인 어떤 수 \(n\)에 대하여 어떤 수 \(m’=nu\)라 하자. 그러면 같은 \(n\)에 대하여 \(b=nk\), \(c=nl\)이다. 어떤 수 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\)에 대하여 \(h=p_1u\), \(k=p_2u\), \(l=p_3u\)이고, \(a=n\left(p_1u\right)=p_1\left(nu\right)=p_1m’\), \(b=n\left(p_2u\right)=p_2\left(nu\right)=p_2m’\), \(c=n\left(p_3u\right)=p_3\left(nu\right)=p_3m’\)이다. [VII권 명제 16] 그러므로 \(m‘\)은 \(a\), \(b\), \(c\)의 공약수이다.
\(h\)는 \(m‘=nu\)인 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=n’h\)이므로 \(hm‘=a\)이다. [VII권 정의 15] 같은 이유로 \(ed=a\)이다.
그러므로 \(ad=hm\)이다. 그러므로 \(e:h=m:d\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(e>h\)이다. 그러므로 \(m>d\)이다. 그리고 \(m\)은 \(a\), \(b\), \(c\)의 공약수이다. 그런데 이것은 모순이다. 왜냐하면 가정에서 \(d\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수이기 때문이다.
그러므로 \(e\), \(f\), \(g\)보다 더 작으면서 \(a:b:c\)의 비율과 같은 수는 없다. 그러므로 \(e\), \(f\), \(g\)가 \(e:f:g=a:b:c\)이면서 가장 작은 수이다.
그러므로 여러 수들이 주어졌을 때, 그들과 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
Q.E.D.
세 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, 이들의 최대공약수를 \(d\)라 하자. \(a=md\)라 하자. \(u\)는 단위 수이고 \(e=mu\)라 하자. 마찬가지로, 만약 \(b = nd\)라면, \(f = nu\)라 하자. 그리고 만약 \(c=od\)라면 \(g=ou\)라 하자.(유클리드는 나눗셈을 정의하지 않았지만, 본질적으로 \(e= \frac ad\), \(f = \frac bd\), \(g=\frac cd\)로 놓았다). 그러면 \(a = kd\), \(b = ke\), \(c=kg\)이다.(단, \(d = ku\)). 따라서 \(a : b : c = e : f : g\)이다.
증명서의 나머지 부분은 더 작은 수들이 a:b:c와 같은 비율이 아니라는 것을 증명한다
이 명제는 다음 명제와 [VIII권 명제 6]에서 사용되어 [VIII권]의 여러 명제에 사용된다.