Proposition 34 of Book VII

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주어진 두 수 \(a\), \(b\)의 최소공배수를 구하여야 한다.

\(a\), \(b\)는 서로소이거나 서로소가 아니다.

1) 우선, \(a\), \(b\)가 서로소라고 하자. \(c=ab\)라 하자. 그러면 \(c=ba\)이다. [VII권 명제 16] 그러므로 \(c\)는 \(a\), \(b\)의 공배수이다.

c는 \(a\), \(b\)의 공배수 중 가장 작은 수임을 보여야 한다.

\(d< c\)인 어떤 수 \(d\)가 \(a\), \(b\)의 공배수라고 하자.

그러면, 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(d=ma\)이다. 그리고 \(e\)는 단위 수 \(u\)와 이전의 같은 수 \(m\)에 대하여 \(e=mu\)라 하자. 또한 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(d=nb\)이다. 그리고 \(f\)는 단위 수 \(u\)와 이전의 같은 수 \(n\)에 대하여 \(f=nu\)라 하자.

\(d=ae\)이고 \(d=fb\)이다. [VII권 정의 15] 그러므로 \(ae=fd\)이다. 그러므로 \(a:b=f:e\)이다. [VII권 명제 19]

그런데 \(a\), \(b\)는 서로소이다. 서로소인 두 수는 이 서로소인 두 수의 비율과 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이며 비율이 같은 비율은 이 서로소 비율의 배수이다. [VII권 명제 20] 그러므로 후자의 수는 후자의 수의 배수이므로 \(e\)는 \(b\)의 배수이다.

그리고 \(c=ab\), \(d=ae\)이다. 그러므로 \(b:e=c:d\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(e\)는 \(b\)의 배수이다. 그러므로 \(d\)는 \(c\)의 배수이다. 작은 수가 큰 수의 배수이므로 모순이다.

그러므로 \(a\), \(b\)의 최소공배수 \(c\) 보다 작은 수에는 공배수가 존재하지 않는다. 그러므로 \(c\)가 \(a\), \(b\)의 최소공배수이다.

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2) 다음으로 \(a\), \(b\)가 서로소가 아니라고 하자.

비율 \(a:b\)과 같은 수들 중에서 \(f\), \(e\)가 가장 작다고 하자. [VII권 명제 33] 그러면 \(ae=bf\)이다. [VII권 명제 19]

\(c=ae\)라 하면 \(c=bf\)이다. 그러므로 \(c\)는 \(a\), \(b\)의 공배수이다.

이제 \(a\), \(b\)의 공배수 중 \(c\)가 가장 작은 수(최소공배수)임을 보여야 한다.

\(a\), \(b\)의 공배수 중 \(c\)가 가장 작은 수가 아니라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\)의 최소공배수 \(c\) 보다 작은 공배수 \(d\)가 존재한다.

어떤 수 \(p\)에 대하여 \(d=pa\)이고 \(g\)를 단위 수 \(u\)와 이전과 같은 어떤 수 \(p\)에 대하여 \(g=pu\)라 하자. 그리고 어떤 수 \(q\)에 대하여 \(d=qb\)이고 \(h\)를 단위 수 \(u\)와 이전과 같은 어떤 수 \(q\)에 대하여 \(h=qu\)라 하자.

그러면 \(d=ag\), \(d=bh\)이다. 그러므로 \(ag=bh\)이다. 그러므로 \(a:b=h:g\)이다. [VII권 명제 19]

그런데 a:b=f:e이다. 그러므로 f:e=h:g이다. ([V권 명제 11])

그런데 \(f\), \(e\)는 가장 작은 수들이다. 그리고 비율이 같은 다른 수들은 가장 작은 수들의 비율의 배수가 된다. 즉, 큰 수는 큰 수의 배수이고, 작은 수는 작은 수의 배수이다. 그러므로 \(g\)는 \(e\)의 배수이다. [VII권 명제 20]

\(c=ae\), \(d=ag\)이다. 그러므로 \(e:g=c:d\)이다. [VII권 명제 17]

그런데 \(g\)는 \(e\)의 배수이다. \(d\)는 \(c\)의 배수이다. 작은 수가 큰 수의 배수이므로 모순이다. 그러므로 \(a\), \(b\)의 최소공배수 \(c\) 보다 작은 수에서는 \(a\), \(b\)의 공배수가 존재하지 않는다. 그러므로 \(a\), \(b\)의 최소공배수는 \(c\)이다.

그러므로 주어진 두 수의 최소공배수를 구할 수 있다.

Q.E.D.

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