VII 권
명제
전체와 전체의 비율은 뺀 수와 뺀 수의 비율과 같고 하자. 그러면 나머지와 나머지의 비율도 전체와 전체 비율과 같다.
\(\overline{\rm AB}\)의 부분을 \(\overline{\rm BE}\)와 \(\overline{\rm DC}\)의 부분을 \(\overline{\rm DF}\)라 하고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)라 하자. 그러면 두 나머지 수 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.
\(\overline{\rm AB}\)의 부분을 \(\overline{\rm BE}\)와 \(\overline{\rm DC}\)의 부분을 \(\overline{\rm DF}\)라 하고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)라 하자.
그러면 두 나머지 수 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)임을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)이므로 \(\overline{\rm AB}\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac pq\overline{\rm CD}\)이든지 \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm CF}\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm AE}=\frac pq\overline{\rm CF}\)이다. [VII권 정의 20]
그러므로 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)인 두 나머지 수 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}\)가 \(\overline{\rm CD}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac pq\overline{\rm CD}\)이든지, \(\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm FD}\)의 부분이고 이전의 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm EB}=\frac pq\overline{\rm FD}\)이다. [VII권 명제 7, 명제 8]
그러므로 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다. [VII권 정의 20]
그러므로 전체와 전체의 비율은 뺀 수와 뺀 수의 비율과 같고 하자. 그러면 나머지와 나머지의 비율도 전체와 전체 비율과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 명제 19]의 일반화한 대수적인 표현으로 이를 나타내면 다음과 같다.
\(a:c=e:f\)이면 \(\left(a-e\right) : \left(c-f\right) = a:c\)이다.
이 명제는 [IX권 명제 35]에서 사용된다.