VII 권
명제
명제 13
네 수들이 서로 비례한다. 그러면 바꾼 비례식도 성립한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)가 성립하면 \(a:c=b:d\)가 성립한다.
VII 권
명제
네 수들이 서로 비례한다. 그러면 바꾼 비례식도 성립한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)가 성립하면 \(a:c=b:d\)가 성립한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)가 성립한다고 하자.
그러면 \(a:c=b:d\)가 성립함을 보여야 한다.
\(a:b=c:d\)이라고 하자. 그러면 \(a\)는 \(b\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(b=na\)이거나 또는 \(a\)가 \(b\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(b=p/qa\)이다. [VII권 정의 20]
그러면 \(c\)는 \(d\)의 약수이고 이전의 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(c=nd\)이거나 또는 \(c\)는 \(d\)의 부분이고 이전의 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(d=p/qc\)이다. [VII권 명제 10]
그러므로 \(a:c=b:d\)이다. [VII권 정의 20]
그러므로 네 수들이 서로 비례한다. 그러면 바꾼 비례식도 성립한다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 명제 16]의 대수적으로 표현한 것으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\(a:b=c:d\)이면 \(a:c=b:d\)이다.
이 명제는 다음 명제를 시작으로 [VII권] 부터 [IX권]까지 자주 사용된다.