VII 권
명제
명제 39
주어진 수들로 나누어떨어지는 가장 작은 수를 구할 수 있다.
주어진 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 수들로 나누어 떨어지는 가장 작은 수를 구할 수 있다.
VII 권
명제
주어진 수들로 나누어떨어지는 가장 작은 수를 구할 수 있다.
주어진 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 수들로 나누어 떨어지는 가장 작은 수를 구할 수 있다.
주어진 수 \(a\), \(b\), \(c\) 수들로 나누어 떨어지는 가장 작은 수를 구할 수 있음을 보여야 한다.
주어진 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 수 \(a=\frac gd\), \(b=\frac ge\), \(c=\frac gf\)을 만족하는 \(d\), \(e\), \(f\)의 최소공배수라 \(g\)라 하자. [VII권 명제 36]
그러므로 \(\frac gd\), \(\frac ge\), \(\frac gf\)는 \(g\)의 약수이다. [VII권 명제 37]
그런데 \(a=\frac gd\), \(b=\frac ge\), \(c=\frac gf\)이다. 그러므로 \(a\), \(b\), \(c\)는 \(g\)의 약수이다.
이제 \(g\)가 가장 작은 수임을 보여야 한다.
\(g\)가 가장 작은 수가 아니라고 하자. 그러면 \(h< g\)이면서 \(a\), \(b\), \(c\)를 약수로 갖는 \(h\)가 존재한다. \(h\)가 \(a\), \(b\), \(c\)를 약수로 가지니 \(h\)는 \(\frac ha\), \(\frac hb\), \(\frac hc\)를 약수로 갖는다. [VII권 명제 38] \(d=\frac ha\), \(e=\frac hb\), \(f=\frac hc\)이므로 \(h\)는 \(d\), \(e\), \(f\)를 약수로 갖는다. 그런데 \(h< g\)이다. 이것은 모순이다.
그러므로 \(g\) 보다 더 작으면서 \(a\), \(b\), \(c\)를 약수를 가지지 못한다.
그러므로 주어진 수들로 나누어떨어지는 가장 작은 수를 구할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 \(4\)와 \(6\)으로 나누어떨어지는 가장 작은 수를 구하는 것과 같다. \(\text{lcm}\left(4,\, 6\right)=12\)로 \(\frac{12}4=3\), \(\frac{12}6=2\)이다.