VII 권
명제
비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 비율이 같은 수들을 같은 배수의 비율이다. 즉, 큰 수가 큰 수의 약수인 것과 같이 작은 수가 작은 수의 약수이며 이전과 같은 약수의 개수를 갖는다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=\overline{\rm CD}:\overline{\rm EF}\)인 수들 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\) 중 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\)가 가장 작은 비율을 갖는다고 하자. 그러면 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=n\overline{\rm CD}\)에 대하여, \(b=n\overline{\rm EF}\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=\overline{\rm CD}:\overline{\rm EF}\)인 수들 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\) 중 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\)가 가장 작은 비율을 갖는다고 하자.
그러면 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=n\overline{\rm CD}\)에 대하여, \(b=n\overline{\rm EF}\)임을 보여야 한다.
우선 \(\overline{\rm CD}\)가 \(a\)의 부분이 아니고 약수임을 보여야 한다. 만약 \(\overline{\rm CD}\)가 \(a\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(a=\frac pq\overline{\rm CD}\)인것 처럼, \(\overline{\rm EF}\)는 \(b\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(b=\frac pq\overline{\rm EF}\)이다. [VII권 명제 13, VII권 정의 20]
그러므로 \(\overline{\rm CD}\)에는 \(\frac ap\)가 \(q\)개 들어 있듯이 \(\overline{\rm EF}\)에도 \(\frac ap\)가 이전과 같이 \(q\)개 들어있다.
\(\overline{\rm CD}\)를 크기 \(\frac ap\)로 나눈것을 \(\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm GD}\)라 하고, \(\overline{\rm EF}\)를 크기 \(\frac bp\)로 나눈것을 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HF}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm GD}\)의 개수와 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HF}\)의 개수는 \(q\)개로 같다. (여기서는 \(q=2\)이다.)
\(\overline{\rm CG}=\overline{\rm GD}\), \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm HF}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm GD}\)의 개수와 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HF}\)의 개수는 \(q\)개로 같으므로, \(\overline{\rm CG}:\overline{\rm EH}=\overline{\rm GD}:\overline{\rm HF}\)이며, \(\overline{\rm CG}:\overline{\rm EH}=\left(\overline{\rm CG}+\overline{\rm GD}\right):\left(\overline{\rm EH}+\overline{\rm HF}\right)\)이다. [VII권 명제 12] 그러므로 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CG}+\overline{\rm GD}\), \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EH}+\overline{\rm HF}\)이므로 \(\overline{\rm CG}:\overline{\rm EH}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm EF}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm EH}\)는 \(\overline{\rm CG}:\overline{\rm EH}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm EF}\)이며 \(\overline{\rm CG}< \overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EH} < \overline{\rm EF}\)이다. 이것은 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\)가 가장 작다는 것에 모순이다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 \(a\)의 부분이 아니고, \(a\)의 약수이다. [VII권 명제 4]
그리고 \(\overline{\rm CD}\)가 \(a\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=n\overline{\rm CD}\)이듯이 \(\overline{\rm EF}\)도 \(b\)의 약수이고 이전과 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(b=n\overline{\rm EF}\)이다. [VII권 명제 13, VII권 정의 20]
그러므로 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 비율이 같은 수들을 같은 배수의 비율이다. 즉, 큰 수가 큰 수의 약수인 것과 같이 작은 수가 작은 수의 약수이며 이전과 같은 약수의 개수를 갖는다.
Q.E.D.
이 명제는 \(a:b\)가 주어졌을 때, \(c:d\)가 같은 비율(\(a:b=c:d\))이고, 같은 비율의 모든 비율 중에서 가장 작다면, 먼저 \(a=nc\)고 \(b=nd\)이지만, \(a\)의 약수 \(c\)의 개수는 \(b\)의 약수인 \(d\)의 개수인 \(n\)개로 같다. 예를 들어, \(84:132\)는 \(7:11\)과 같은 비율이며, \(84:132\)는 \(7:11\)로 줄어든다. \(84\)는 \(7\)이 \(12\)개 들어 있으며, \(132\)에도 \(11\)이 \(12\)개 들어 있다.
대수적으로 이 명제를 증명하여 보자. 비율 \(a:b\)가 가장 낮은 비율 \(c:e\)와 같다고 즉, \(a:b=c:e\)라고 가정하자. \(c\)가 \(a\)의 약수임을 보이기 위해서, 약수가 아니라고 가정하자. 그러면, \(c = \frac mna\)라고 할 수 있다. \(a: b=c: e\)이기 때문에 \(e = \frac mnd\)이다. 그러나 \(\frac cm = \frac 1na\)이고, \(\frac em = \frac 1nb\)이다. 따라서 비율 \(\frac cm : \frac em\)는 \(\frac cm : \frac em = a : b\)와 같고, 가장 작은 비율 \(c : e\)보다 더 작은 비율이다. 그러므로 \(c:e\)가 가장 작은 비율이라는 것에 모순이다. 따라서 \(c\)는 \(a\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nc\)이듯이, \(e\)도 \(b\)의 약수이고 이전의 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(b=ne\)이다.
이 명제는 다음 명제를 시작으로 [VII권]부터 [IX]권 까지 자주 사용된다.