VII 권
명제
명제 27
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수 각각의 제곱수들은 서로소이다. 그리고 두 수의 각각의 세제곱수들은 서로소이다. 이 후로 계속되는 두 거듭제곱수도 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 서로소라고 하자. 그러면 \(c=a^2\), \(e=b^2\)이라 하면 \(c\), \(e\)는 서로소이다. 그리고 \(d=ac=a^3\), \(f=be=b^3\)이라고 하면 \(d\), \(f\)도 서로소이다.
VII 권
명제
두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수 각각의 제곱수들은 서로소이다. 그리고 두 수의 각각의 세제곱수들은 서로소이다. 이 후로 계속되는 두 거듭제곱수도 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 서로소라고 하자. 그러면 \(c=a^2\), \(e=b^2\)이라 하면 \(c\), \(e\)는 서로소이다. 그리고 \(d=ac=a^3\), \(f=be=b^3\)이라고 하면 \(d\), \(f\)도 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 서로소라고 하자.
그러면 \(c=a^2\), \(e=b^2\)이라 하면 \(c\), \(e\)는 서로소임을 보여야 한다.
\(a\), \(b\)가 서로소이고 \(c=a^2\)이므로 \(c\), \(b\)는 서로소이다. [VII권 명제 25]
\(c\), \(b\)가 서로소이고 \(e=b^2\)이므로 \(c\), \(e\)도 서로소이다. [VII권 명제 25]
이제 \(d=ac=a^3\), \(f=be=b^3\)이라고 하자.
그러면 \(d\), \(f\)도 서로소임을 보여야 한다.
\(a\), \(b\)가 서로소이고 \(e=b^2\)이므로 \(a\), \(e\)는 서로소이다. [VII권 명제 25]
두 수 \(a\), \(c\) 모두 두 수 \(b\), \(e\) 모두에 서로소이므로 \(ac\), \(be\)도 서로소이다. [VII권 명제 26]
\(d=ac\), \(f=be\)이므로 \(d\), \(f\)도 서로소이다.
그러므로 두 수가 서로소라고 하자. 그러면 두 수 각각의 제곱수들은 서로소이다. 그리고 두 수의 각각의 세제곱수들은 서로소이다. 이 후로 거듭되는 두 거듭제곱수도 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소이면, 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a^n\), \(b^n\)은 서로소이다.
이 증명은 \(n=2\), \(n=3\)일 때의 증명이다.
이 명제의 증명은 이전 두 명제를 사용하였다. \(a\), \(b\)가 서로소라 가정하자. 그런 다음 [VII권 명제 25]를 두 번 적용하면, \(a^2\), \(b\)가 서로소가 되고, 그 다음에 \(a^2\), \(b^2\)이 서로소가 된다.
다시, [VII권 명제 25]에 의해서, \(a\), \(b^2\)이 서로소이다. \(a\), \(b^2\)이 서로소이고, \(b\), \(a^2\)이 서로소이므로 [VII권 명제 26]에 의해서 \(a^3\), \(b^3\)이 서로소이다.
마찬가지로, \(a\), \(b\)의 거듭제곱도 서로소이다.
이 명제는 [VIII권 명제 2], [VIII권 명제 3]에서 사용된다.