애플릿

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증명

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합성수 \(a\)에 대하여, 어떤 소수 \(p\)가 \(a\)의 배수임을 보여야 한다.

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\(a\)가 합성수이므로 \(a\)의 약수인 어떤 수 \(b\)가 존재한다. [VII권 정의 13]

만약 \(b\)가 소수이면 \(a\)는 소수 \(b\)의 배수이다.

만약 \(b\)가 합성수이면 \(b\)의 약수인 어떤 수 \(c\)가 존재한다. [VII권 정의 11, 13]

\(c\)는 \(b\)의 약수이고, \(b\)는 \(a\)의 약수이므로 \(c\)는 \(a\)의 약수이다. 만약 \(c\)가 소수라면 \(a\)는 소수 \(c\)의 배수이다. 그런데 \(c\)가 합성수라면 어떤 수 \(c\)의 소수인 약수 \(p\)가 존재하고 이 소수 \(p\)가 이전 수의 약수이고 계속해서 하면 이 소수 \(p\)는 \(a\)의 약수이다.

만약 이러한 소수가 없다면 무수히 많은 수들이 \(a\)의 약수이다. 이 수들은 계속해서 작아지며 수는 무한히 작아질 수 없다.

그러므로 그 이전의 수의 약수인 소수가 존재하면 그 소수는 \(a\)의 약수이다. 그러므로 \(a\)는 그 약수인 소수의 배수이다.

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그러므로 합성수는 어떤 소수의 배수이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제를 증명하기 위해, 어떤 감소되는 수열도 유한하다는 명시되지 않은 원리를 다시 사용한다.

이 명제는 다음 명제와 [IX권 명제 13], [IX권 명제 20]에서 사용된다.