VII 권
명제
명제 22
같은 비율인 두 수들 중에 가장 작은 수는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b\)와 같은 가장 작은 수가 \(a\), \(b\)라 하면 두 수 \(a\), \(b\)는 서로소이다.
VII 권
명제
같은 비율인 두 수들 중에 가장 작은 수는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b\)와 같은 가장 작은 수가 \(a\), \(b\)라 하면 두 수 \(a\), \(b\)는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b\)와 같은 비율을 갖는 가장 작은 수가 \(a\), \(b\)라 하자.
그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 서로소임을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소가 아니라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\)의 공약수 \(c\)가 존재한다.
단위 수를 \(u\)라고 하자. \(c\)는 \(a\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nc\)이고 \(d=nu\)라고 하자.
또한 \(c\)가 \(b\)의 약수이고 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(b=mc\)이고 \(e=mu\)라 하자.
\(d=nu\)인 \(n\)에 대하여 \(a=nc\)이므로 \(cd=a\)이다. [VII권 정의 15] 같은 이유로 \(ce=b\)이다.
그러므로 \(a=cd\), \(b=ce\)이므로 \(d:e=a:b\)이다. [VII권 명제 17]
그러므로 두 수 \(d\), \(e\)는 \(d:e=a:b\)이면서 \(a\), \(b\) 보다 더 작은 수이다. 이것은 모순이다.
그러므로 \(a\), \(b\)의 공약수는 단위 수\(1\) 이외에는 존재하지 않는다.
그러므로 \(a\), \(b\)는 서로소이다.
그러므로 같은 비율인 두 수들 중에 가장 작은 수는 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제는 이전 명제의 역이다. 이 명제는 \(a:b\)가 \(b\)에 대해 \(a:b\)의 비율이 가장 작은 비율과 필요충분조건은 a, b가 서로소일 때이다.
이 명제는 [VIII권 명제 2], [VIII권 명제 3], [XI권 명제 15]에서 사용된다.