Proposition 36 of Book VII

주어진 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 최소공배수를 구할 수 있음을 보여야 한다.

\(d\)를 두 수 \(a\), \(b\)의 최소공배수라 하자. [VII권 명제 34]

\(d\)는 \(c\)의 배수이거나 배수가 아닐 것이다.

1) \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자.

\(d\)는 \(a\), \(b\)의 최소 공배수이다. 그러므로 \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수이다.

이제 \(d\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수 중 가장 작은 수, 즉, 최소공배수라는 것을 보이자.

\(d\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최소공배수가 아니라고 하자. 그러면 \(e< d\)이며 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수 \(e\)가 존재한다.

\(e\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수이니 \(e\)는 \(a\), \(b\)의 공배수이다. 그러므로 \(e\)는 \(a\), \(b\)의 최소공배수 \(d\)의 배수이다. [VII권 명제 35]

그런데 \(e\)는 \(d\)의 배수이다. 작은 수가 큰 수의 배수이니 이것은 모순이다.

그러므로 \(d\) 보다 작은 수는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수일 수 없다. 그러므로 \(d\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최소공배수이다.

2) \(d\)가 \(c\)의 배수가 아니라고 하자.

\(c\), \(d\)의 최소공배수를 e라 하자. [VII권 명제 34]

\(d\)는 \(a\), \(b\)의 공배수이고, e는 \(d\)의 배수이므로 e는 \(a\), \(b\)의 공배수이다. 그런데 e는 \(c\)의 배수이다. 그러므로 e는 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수이다.

이제 \(c\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최소공배수임을 보이자.

e가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최소공배수가 아니라고 하자. 그러면 \(f< e\)이고 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수인 \(f\)가 존재한다. [VII권 명제 35]

\(d\)는 \(a\), \(b\)의 최소공배수이다. 그러므로 \(f\)는 \(d\)의 배수이다. 그런데 \(f\)는 \(c\)의 배수이다.

그런데 \(f\)는 \(c\), \(d\)의 공배수이다. 따라서 \(f\)는 \(c\), \(d\)의 최소공배수 \(e\)의 배수이다.

그러므로 \(f\)는 \(e\)의 배수이다. 그런데 작은 수가 큰 수의 배수이니 이것은 모순이다.

그러므로 \(e\) 보다 더 작은 \(a\), \(b\), \(c\)의 공배수는 존재하지 않는다. 그러므로 \(e\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 최소공배수이다.

그러므로 주어진 세 수의 최소공배수를 구할 수 있다.

Q.E.D.