Proposition 37 of Book VII

VII 권

명제

명제 37

어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 어떤 수는 다른 어떤 수의 약수인 약수가 존재한다.

어떤 수 $b$ 는 다른 어떤 수 $a$ 의 약수라고 하자. 그러면 $c = \frac{a}{b}$ 는 $a$ 의 약수이다.

애플릿

증명

어떤 수 $b$ 는 다른 어떤 수 $a$ 의 약수라고 하자.

그러면 $a = b c$ 인 $a$ 의 약수 $c$ 가 존재함을 보이자.

$a$ 는 $b$ 의 배수이며 어떤 수 $n$ 에 대하여 $a = n b$ 이다. 단위 수 $d$ 와 이전과 같은 $n$ 에 대하여 $c = n d$ 라고 하자.

어떤 수 $n$ 에 대하여 $a = n b$ , $c = n d$ 이므로 $a : b = c : d$ 이다. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서 $b : d = a : c$ 이다. [VII권 명제 15] 그러므로 어떤 수 $m$ 에 대하여 $b = m d$ 이면 $a = m c$ 이다. 그러므로 $c$ 도 $a$ 의 약수이다.

그러므로 $c = \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$ 는 $a$ 의 약수이다.

그러므로 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 어떤 수는 다른 어떤 수의 약수인 약수가 존재한다.

Q.E.D.

부연설명

이 명제는 $b$ 가 $a$ 의 약수이면, $a$ 는 $\frac{a}{b}$ 인 약수를 갖는다. 예를 들어 $3$ 은 $12$ 의 약수이다. 그러면 $4 (= \frac{12}{3})$ 도 $12$ 의 약수이다.

이 명제는 [VII권 명제 39]에서 사용된다.