VII 권
명제
명제 37
어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 어떤 수는 다른 어떤 수의 약수인 약수가 존재한다.
어떤 수 \(b\)는 다른 어떤 수 \(a\)의 약수라고 하자. 그러면 \(c=\frac ab\)는 \(a\)의 약수이다.
VII 권
명제
어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 어떤 수는 다른 어떤 수의 약수인 약수가 존재한다.
어떤 수 \(b\)는 다른 어떤 수 \(a\)의 약수라고 하자. 그러면 \(c=\frac ab\)는 \(a\)의 약수이다.
어떤 수 \(b\)는 다른 어떤 수 \(a\)의 약수라고 하자.
그러면 \(a=bc\)인 \(a\)의 약수 \(c\)가 존재함을 보이자.
\(a\)는 \(b\)의 배수이며 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nb\)이다. 단위 수 \(d\)와 이전과 같은 \(n\)에 대하여 \(c=nd\)라고 하자.
어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nb\), \(c=nd\)이므로 \(a:b=c:d\)이다. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서 \(b:d=a:c\)이다. [VII권 명제 15] 그러므로 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(b=md\)이면 \(a=mc\)이다. 그러므로 \(c\)도 \(a\)의 약수이다.
그러므로 \(c=\frac cd=\frac ab\)는 \(a\)의 약수이다.
그러므로 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 어떤 수는 다른 어떤 수의 약수인 약수가 존재한다.
Q.E.D.
이 명제는 \(b\)가 \(a\)의 약수이면, \(a\)는 \(\frac ab\)인 약수를 갖는다. 예를 들어 \(3\)은 \(12\)의 약수이다. 그러면 \(4\left(=\frac{12}3\right)\)도 \(12\)의 약수이다.
이 명제는 [VII권 명제 39]에서 사용된다.