VII 권
명제
명제 21
서로소인 두 수는 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
서로소인 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b\)와 같은 비율 중에서 \(a\), \(b\)가 가장 작은 두 수이다.
VII 권
명제
서로소인 두 수는 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
서로소인 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b\)와 같은 비율 중에서 \(a\), \(b\)가 가장 작은 두 수이다.
서로소인 두 수 \(a\), \(b\)가 있다.
그러면 \(a:b\)와 같은 비율 중에서 \(a\), \(b\)가 가장 작은 수임을 보여야 한다.
\(a:b\)와 같은 비율 중에서 \(a\), \(b\)가 가장 작은 수가 아니라고 하자. \(a\), \(b\) 보다 더 작으면서 \(a:b\)와 같은 비율을 갖는 어떤 수가 있다. 그 수를 \(c\), \(d\)라 하자.
비율이 같은 수들은 비율이 같은 가장 작은 수의 배수이다. 즉, \(a>b\)이고 \(c>d\)라면 \(c\)는 \(a\)의 약수로 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nc\)이고 \(b\)도 \(d\)의 배수로 이전의 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(b=nd\)이다. [VII권 명제 20]
단위 수를 \(u\)라 하자. 이전의 \(n\)에 대하여 \(e=nu\)라 하자. 그리고 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(c=mu\)라고 하자. 그러면 \(a=nc=n\left(mu\right)=m\left(nu\right)=me\)이어서 \(a\)는 \(e\)의 배수이다. [VII권 명제 16] 같은 이유로 \(d=m’u\)라고 하면, \(b=nd=n\left(m’u\right)=m’\left(nu\right)=m’e\)이어서 \(b\)는 \(e\)의 배수이다. [VII권 명제 16]
그러므로 \(e\)는 \(a\), \(b\)의 공약수이다. 이것은 \(a\), \(b\)가 서로소라는 것에 모순이다. [VII권 정의 12]
그러므로 \(a\), \(b\) 보다 더 작은 두 수로 \(a:b\)와 같은 비율일 수는 없다. 그러므로 \(a\), \(b\)는 \(a:b\)과 같은 비율을 갖는 수들 중에서 가장 작은 두 수이다.
그러므로 서로소인 두 수는 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
Q.E.D.
다음 명제는 이 명제의 역이다. 이 명제에서는 \(a:b\)가 서로소인 경우에 \(a:b\)와 비율이 같은 a, brk 가장 작은 수이다.
비록 이 명제는 숫자의 쌍과 그 비율에 관한 것으로 보이지만, [VII권 명제 33]에 어떤 수의 양으로도 사용된다. 이 명제는 \(a\), \(b\), \(c\)와 같은 비율을 갖는 세 개의 수 중에서 서로소인 세 개의 수가 가장 작다.
이 명제는 [VII권 명제 24]에서 처음 사용되고 이후 [VII권]부터 [IX권]까지 빈번히 사용된다.