VII 권
명제
명제 17
어떤 수에다 두 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 곱하는 수들과 같은 비율이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(d=ab\), \(e=ac\)라 하자. 그러면 \(b:c=d:e\)이다.
VII 권
명제
어떤 수에다 두 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 곱하는 수들과 같은 비율이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(d=ab\), \(e=ac\)라 하자. 그러면 \(b:c=d:e\)이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(d=ab\), \(e=ac\)라 하자.
그러면 \(b:c=d:e\)임을 보이자.
단위 수 \(f\)라 하고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nf\)라 하자. 그리고 \(d=nb\)이다. [VII권 정의 15]
그러므로 \(f:a=b:d\)이다. [VII권 명제 20(V권 명제 11)]
같은 이유로, \(f:a=c:e\)이다. 그러므로 \(b:d=c:e\)이다.
그러므로 바뀐 비례식에 의해서 \(b:c=d:e\)이다. [VII권 명제 13]
그러므로 어떤 수에다 두 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 곱하는 수들과 같은 비율이다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다.
\(b:c=ab:ac\)
이 명제는 다음 명제를 시작으로 [VII권]에서 부터 [IX]권까지 매우 빈번히 사용된다.