VII 권
명제
명제 18
두 수에 어떤 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 처음 수 두 수의 비율과 같은 비율이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여,\(d=ac\), \(e=bc\)라 하자. 그러면 \(a:b=ac:bc\)이다.
VII 권
명제
두 수에 어떤 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 처음 수 두 수의 비율과 같은 비율이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여,\(d=ac\), \(e=bc\)라 하자. 그러면 \(a:b=ac:bc\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(d=ac\), \(e=bc\)라 하자.
그러면 \(a:b=ac:bc\)임을 보여야 한다.
\(d=ac\)이므로 \(d=ca\)이다. [VII권 명제 16]
같은 이유로, \(e=cb\)이다. 그러므로 \(d=ca\), \(e=cb\)이다. 그러므로 \(a:b=d:e\)이다. [VII권 명제 17]
그러므로 두 수에 어떤 수를 곱해서 새로운 수를 만들자. 그러면 이 때 만들어진 수들은 처음 수 두 수의 비율과 같은 비율이다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다.
\(b:c=ab:ac\)
이것은 \(b:c=ba:ca\)로도 표현할 수 있다.
[VII권 명제 16]과 유일한 차이점은 곱셈의 순서이다. [VII권 명제 16]은 곱셈은 교환에 대한 것이어서 곱하는 순서에는 무관하다는 것을 이야기하고 있다.
이 명제는 다음 명제에서 사용되고 [VIII권]에서 가끔 사용된다.