애플릿

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증명

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$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$의 약수이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$는 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$의 약수이며 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$이다. $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$이다.

그러면 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$는 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{F}}$의 약수이고 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$임을 보여야 한다.

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$\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$가 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$의 어떤 약수이든 즉, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$를 만족하는 임의의 수 $n$에 대하여, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{G}}=n\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$가 되도록 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{G}}$를 잡자. (여기서는 $n=2$로 잡았다.)

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$를 만족하는 임의의 수 $n$에 대하여, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{G}}=n\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이므로, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$인 임의의 $n$에 대하여, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이다. [VII권 명제 5]

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$인 임의의 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$인 임의의 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$이다.

$\overline{\mathrm{G}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$의 양변에서 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$를 빼자. 그러면 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{F}}-\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$이고 이를 정리하면 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이다.

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$인 임의의 $n$에 대하여, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}=n\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이고 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이므로, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$인 임의의 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이다.

그런데 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$인 임의의 $n$에 대하여, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$인 임의의 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}=n\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이다.

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그러므로 어떤 수가 어떤 수의 약수라 하고, 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 둘 다 같은 약수의 개수를 갖는다고 하자. 그러면 어떤 약수에서 다른 약수를 뺀 것은 전체 어떤 수에서 다른 어떤 수를 뺀 것의 약수이며 이 전의 약수의 개수를 갖는다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 덧셈 대신 뺄셈으로 바꾸면 [VII권 명제 5]와 같다. 대수적으로는 다음과 같다.

$\frac{b}{n}-\frac{e}{n}=\frac{b-e}{n}$

이 명제는 다음 명제와 [VII권 명제 11]에서 사용된다.