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증명
\(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 약수이고 \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm CF}\)의 약수이며 어떤 수
\(n\)에 대하여 \(\overline{\rm CD}=n\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)이다. \(\overline{\rm
EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)이다.
그러면 \(\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm DF}\)의 약수이고 \(\overline{\rm DF}=n\overline{\rm EB}\)임을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AE}\)가 \(\overline{\rm CF}\)의 어떤 약수이든 즉, \(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)를 만족하는 임의의
수 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm CG}=n\overline{\rm EB}\)가 되도록 \(\overline{\rm CG}\)를 잡자. (여기서는 \(n=2\)로
잡았다.)
\(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)를 만족하는 임의의 수 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm CG}=n\overline{\rm
EB}\)이므로, \(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)인 임의의 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm GF}=n\overline{\rm AB}\)이다.
[VII권 명제 5]
\(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)인 임의의 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm CD}=n\overline{\rm AB}\)이다. 그러므로
\(\overline{\rm GF}=n\overline{\rm AB}\)인 임의의 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm CD}=n\overline{\rm AB}\)이다. 그러므로
\(\overline{\rm GF}=\overline{\rm CD}\)이다.
\(\overline{\rm GF}=\overline{\rm CD}\)의 양변에서 \(\overline{\rm CF}\)를 빼자. 그러면 \(\overline{\rm GF}-\overline{\rm
CF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)이고 이를 정리하면 \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm FD}\)이다.
\(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)인 임의의 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm GC}=n\overline{\rm EB}\)이고
\(\overline{\rm GC}=\overline{\rm FD}\)이므로, \(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)인 임의의 \(n\)에 대하여
\(\overline{\rm FD}=n\overline{\rm EB}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm CF}=n\overline{\rm AE}\)인 임의의 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm CD}=n\overline{\rm AB}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm CD}=n\overline{\rm AB}\)인 임의의 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm FD}=n\overline{\rm EB}\)이다.
그러므로 어떤 수가 어떤 수의 약수라 하고, 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 둘 다 같은 약수의 개수를 갖는다고
하자. 그러면 어떤 약수에서 다른 약수를 뺀 것은 전체 어떤 수에서 다른 어떤 수를 뺀 것의 약수이며 이 전의 약수의 개수를
갖는다.
Q.E.D.
