VII 권
명제
어떤 수가 어떤 수의 부분이라고 하고 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 앞의 부분과 같은 부분이라고 하자. 그러면 부분을 더한 것은 전체 수를 더한 것에 앞에서의 부분과 같다.
\(\overline{\rm AB}\)는 \(c\)의 부분으로 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c=\frac mn \overline{\rm AB}\)이고, \(\overline{\rm DE}\)는 \(f\)의 부분으로 이전의 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(f=\frac mn \overline{\rm DE}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\)는 \(c+f\)의 부분으로 이전의 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c+f=\frac mn \left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\right)\)이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 \(c\)의 부분으로 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c=\frac mn \overline{\rm AB}\)이고, \(\overline{\rm DE}\)는 \(f\)의 부분으로 이전의 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(f=\frac mn\overline{\rm DE}\)이다.
그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\)는 \(c+f\)의 부분으로 이전의 어떤 두 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c+f=\frac mn\left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\right)\)임을 보여야한다.
\(\overline{\rm AB}\)는 \(c\)의 부분으로 \(\overline{\rm AB}\)에는 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\frac cn\)(\(c\)의 약수)가 \(m\)개 들어 있고, \(\overline{\rm DE}\)도 \(f\)의 부분으로 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\frac fn\)(\(f\)의 약수)가 이전의 같은 수 \(m\)개가 들어 있다.
\(\overline{\rm AB}\)를 \(c\)의 약수로 나눈 것을 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GB}\)라 하고, \(\overline{\rm DE}\)를 \(f\)의 약수로 나누것을 \(\overline{\rm DH}\), \(\overline{\rm HE}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GB}\) 개수와 \(\overline{\rm DH}\), \(\overline{\rm HE}\)의 개수는 \(m\)개로 같다.
그러면 \(\overline{\rm AG}\)가 \(c\)의 약수(\(\frac cn\))가 어떤 수 \(m\)개가 들어있든 \(\overline{\rm DH}\)도 \(f\)의 약수(\(\frac fn\))이 앞의 약수이 개수와 같은 \(m\)개가 들어 있으므로, \(\overline{\rm AG}\)가 \(c\)의 어떤 약수(\(\frac cn\))이 어떤 수 \(m\)개가 들어있든 \(\overline{\rm AG}+\overline{\rm DH}\)는 \(c+f\)의 약수(\(\frac{c+f}n\))는 앞 약수의 개수와 같은 \(m\) 개가 들어 있다.
[VII권 명제 5] 같은 이유로 \(\overline{\rm GB}\)가 \(c\)의 어떤 약수(\(\frac cn\))가 어떤 수 \(m\)개만큼 들어있든 \(\overline{\rm GB}+\overline{\rm HE}\)는 \(c+f\)의 약수(\(\frac{c+f}n\))가 앞 약수의 개수와 같은 m개가 들어 있다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\)가 \(c\)의 어떤 약수(\(\frac cn\))이 어떤 수 \(m\)개가 들어있든 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}\)에 \(c+f\)의 약수(\(\frac{c+f}n\))가 앞의 약수의 개수와 같은 \(m\)개가 들어 있다. 즉, \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm DE}=\frac mn\left(c+f\right)\)이다.
그러므로 어떤 수가 어떤 수의 부분이라고 하고 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 앞의 부분과 같은 부분이라고 하자. 그러면 부분을 더한 것은 전체 수를 더한 것에 앞에서의 부분과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 분수에 의한 곱셈이 덧셈에 대해 분배를 의미한다. 대수적으로는 다음과 같다.
\(a=\frac mn b\), \(d= \frac mn e\) 이면 \(a+d= \frac mn \left(b+e\right)\)이다.
다시 말해, \(a+d=\frac mn b + \frac mn e = \frac mn \left(b+e\right)\)이다.
이 명제는 [VII권 명제 9]를 시작으로 몇 개의 명제에서 사용된다.