VII 권
명제
명제 26
두 수가 다른 두 수와 모두 서로소라고 하자. 그러면 각각 곱한 두 수는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 다른 두 수 \(c\), \(d\)와 모두 서로소라고 하자. \(e=ab\), \(f=cd\)라 하자. 그러면 \(e\), \(f\)는 서로소이다.
VII 권
명제
두 수가 다른 두 수와 모두 서로소라고 하자. 그러면 각각 곱한 두 수는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 다른 두 수 \(c\), \(d\)와 모두 서로소라고 하자. \(e=ab\), \(f=cd\)라 하자. 그러면 \(e\), \(f\)는 서로소이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 다른 두 수 \(c\), \(d\)와 모두 서로소라고 하자. \(e=ab\), \(f=cd\)라 하자.
그러면 \(e\), \(f\)는 서로소임을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)가 \(c\)와 각각 서로소이므로 \(ab\)와 \(c\)는 서로소이다. 그런데 \(e=ab\)이므로 \(e\), \(c\)는 서로소이다. 같은 이유로 \(e\), \(d\)도 서로소이다. 그러므로 \(c\), \(d\)는 \(e\)와 서로소이다. [VII권 명제 24]
그러므로 \(cd\)도 \(e\)와 서로소이다. 그런데 \(f=cd\)이다. 그러므로 \(e\), \(f\)는 서로소이다. [VII권 명제 24]
그러므로 두 수가 다른 두 수와 모두 서로소라고 하자. 그러면 각각 곱한 두 수는 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제는 대수적으로 표현하면 다음과 같다.
\(a\), \(b\)가 서로소이고, \(a\), \(b\) 모두 \(c\), \(d\) 모두와 서로소라고 하면 \(ac\), \(cd\)도 서로소이다.
예를 들면 \(45\), \(75\)는 서로소이다. 그리고 \(45\), \(75\) 두 수 모두 \(26\), \(77\)과 각각 서로소이다.
\(45\times75=3375\), \(26\times77=2002\)는 서로소이다.
이 명제의 증명은 [VII권 명제 24]를 두 번 사용한다. \(a\), \(b\) 모두 \(c\), \(d\) 모두와 서로소라고 하면, 그들의 곱 \(ab\)도 \(c\), \(d\) 모두와 서로소이다. \(c\)와 \(d\) 모두 \(ab\)와 서로소 때문에 \(cd\)도 \(ab\)와 서로소이다.
이 명제는 다음 명제의 증명에 사용된다.