VII 권
명제
명제 38
어떤 수를 다른 어떤 수로 나눈 수도 어떤 수의 약수이면 다른 어떤 수도 어떤 수의 약수이다.
어떤 수 \(a\)가 어떤 약수 \(\frac ac\)를 가진다. 그러면 \(c\)도 \(a\)의 약수이다.
VII 권
명제
어떤 수를 다른 어떤 수로 나눈 수도 어떤 수의 약수이면 다른 어떤 수도 어떤 수의 약수이다.
어떤 수 \(a\)가 어떤 약수 \(\frac ac\)를 가진다. 그러면 \(c\)도 \(a\)의 약수이다.
어떤 수 \(a\)가 어떤 약수 \(b=\frac ac\)를 가진다.
그러면 \(c\)도 \(a\)의 약수임을 보여야 한다.
\(b=\frac ac\)는 \(a\)의 약수이고 단위 수 \(d\)는 \(d=\frac cc\)이므로 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(c=nd\)이고 이전과 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=nb\)이다. \(c:d=a:b\)이다.
바뀐 비례식에 의하여 \(d:b=c:a\)이다. [VII권 명제 15] 그러므로 \(c\)는 \(a\)의 약수이다.
그러므로 어떤 수를 다른 어떤 수로 나눈 수도 어떤 수의 약수이면 다른 어떤 수도 어떤 수의 약수이다.
Q.E.D.
이 명제는 이전 명제의 역이다. 예를 들어 \(\frac{12}3\left(=4\right)\)가 \(12\)의 약수이므로 \(3\)도 \(12\)의 약수이다.