부연설명

[VII 권] 처음에 소개되는 이 23개의 정의는 수론에 관한 [VI 권]부터 [IX 권]까지 세 권에 대한 정의이다. 어떤 정의들은 [VIII 권]이나 [IX 권]까지 사용되지 않는다.

정의 \(2\)의 숫자는 \(1\)보다 큰 완전 양수여야 하며 [정의 1]은 단위를 \(1\)로 정의해야 한다. 그리스어에서 직접 파생된 단어 ‘monad’는 때때로 ‘unit’ 대신에 사용된다. 유클리드(Euclid)는 단위 1을 숫자 2, 3 등과 구분하여 처리한다. 이것은 경우에 따라 그의 증명하는데 난처하게 만든다. 유클리드가 \(1\)을 숫자로 취급하는 경우는 거의 없다. 스토아 철학자 크리시푸스 (Chrysippus, 280–207)는 \(1\)이 숫자라고 주장했지만, 그의 주장은 한동안 받아들여지지 않았다.

이 세 권의 수론에 관한 책을 통해 유클리드는 그의 정규적인 수를 선분으로 나타내었다. 단위는 위의 다이어그램에서 선분 A인 하나의 선분으로 표시된다. 평면 기하학에 관한 이전 책들의 선분들과 달리, 이 단위 선분 \(a\)는 분할할 수 없다. 위 그림에서 선분 \(\rm BD\)는 \(2\)를 나타내고 \(\rm BE\)는 \(3\)을 나타낸다. 비록 수를 선분으로 표현되지만, 유클리드는 결코 그것을 선분이라고 부르지 않았다. 이 수들의 본질이 무엇인지는 분명하지 않지만, 그들의 본질은 관련이 없다. 유클리드는 단위를 선, 점, 또는 어떤 종류의 크기라도 나타낼 수 있으며, 수는 그 단위의 배수로서 나타낼 수 있다. 위에서 언급한 바와 같이, 유클리드는 수의 개념을 정교하게 설명할 수 있는 가정은 없다(다양한 종류의 크기뿐 만 아니라 수에 적용되는 것으로 보이는 공통 개념).