VII 권
정의
정의 6
같은 크기로 둘로 나눌 수 있는 수를 ‘짝수’라고 한다.
정의 7
같은 크기로 둘로 나눌 수 없는 수를 ‘홀수’라고 한다. 짝수와 그 크기의 차이가 \(1\) 만큼인 수이다.
정의 8
두 짝수를 곱하는 것을 ‘짝수-짝수 곱’이라고 한다.
정의 9
홀수와 짝수의 곱하는 것을 ‘홀수-짝수 곱’이라고 한다.
정의 10
두 홀수를 곱하는 것을 ‘홀수-홀수 곱’이라고 한다.
부연설명
[정의 6](짝수의 정의)는 명백하다. \(a+a\)인 형태의 수로 처음 몇 개의 짝수는 \(2\), \(4\), \(6\), \(8\), \(10\)이다.
[정의 7](홀수의 정의)는 두 개로 정의되어 있다. 두 개의 같은 크기로 나눌 수 없는 수, 즉 짝수가 아닌 수로 정의하고 있다. 처음 몇 개의 홀수는\(3\), \(5\), \(7\), \(9\), \(11\)이다. 유클리드는 1을 숫자로 취급하지 않았지만 이제는 \(1\)도 홀수로 간주한다. 또 다른 정의는 이미 정의가 되었기 때문에 홀수에 대한 정의가 아니라 증명되지 않은 진술이다. 짝수와 1이 다른 수는 홀수라는 증명되지 않은 진술을 증명해야 한다. 이 진술은 명제 [IX권 명제 22]와 그 뒤를 따르는 여러 명제에서 사용된다.
[정의 8]~[정의 10]은 모두 명백하다. [정의 8]의 두 짝수의 곱은 처음 몇 개는 \(4\), \(8\), \(12\), \(16\), \(20\)로 모두 \(4\)의 배수이다. [정의 9]의 홀수의 짝수 곱의 처음 몇 개는 \(6\), \(10\), \(12\), \(14\), \(18\), \(20\)이다. \(12\)와 같은 수는 \(12=2\cdot 6=3\cdot 4\)이므로 동시에 짝수의 곱 및 홀수의 짝수 곱이다