VII 권
명제
명제 14
어떤 수들이 몇 개가 있고 또 다른 어떤 수들이 같은 개수가 있다고 하자. 두 쌍의 비율이 서로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 비율은 같다.
어떤 수 만큼 같은 개수의 수 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 수 \(d\), \(e\), \(f\)가 있다. \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)라고 하자. 그러면 \(a:c=d:f\)이다.
VII 권
명제
어떤 수들이 몇 개가 있고 또 다른 어떤 수들이 같은 개수가 있다고 하자. 두 쌍의 비율이 서로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 비율은 같다.
어떤 수 만큼 같은 개수의 수 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 수 \(d\), \(e\), \(f\)가 있다. \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)라고 하자. 그러면 \(a:c=d:f\)이다.
어떤 수 만큼 같은 개수의 수 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 수 \(d\), \(e\), \(f\)가 있다. \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)라고 하자.
그러면 \(a:c=d:f\)임을 보여야 한다.
\(a:b=d:e\)이므로 바꾼 비례식이 성립하므로 \(a:d=b:e\)이다. [VII권 명제 13]
또한 \(b:c=e:f\)이므로 바꾼 비례식이 성립하므로 \(b:e=c:f\)이다. [VII권 명제 13]([V권 명제 11])
그러므로 \(b:e=a:d\)이다.
그러므로 \(a:d=c:f\)이다. 그러므로 바꾼 비례식 \(a:c=d:f\)이다. [VII권 명제 13]
그러므로 어떤 수들이 몇 개가 있고 또 다른 어떤 수들이 같은 개수가 있다고 하자. 두 쌍의 비율이 서로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 비율은 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [V권 명제 22]의 대수적으로 표현한 것으로 다음과 같다.
\(a_1:a_2=b_1:b_2\),
\(a_2:a_3=b_2:b_3\),
\(\vdots\)
\(a_{n-1}:a_n=b_{n-1}:b_n\)
이면 \(a_1:a_n=b_1:b_n\)이다.
이 명제는 \(n=3\)일 때, 증명되었다.
이 명제는 [VIII권 명제 1]에서 사용을 시작으로 [VIII권], [IX권]에서 가끔씩 사용된다.