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증명

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수 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$가 수 $c$의 부분이고 어떤 수 $m$, $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{m}{n}c$라 하자. $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}\ne \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$인 수 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$는 $f$의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 $m$, $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=\frac{m}{n}f$이다.

그러면 바꾼 비례식에 의해서, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$가 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$이든지 $c$는 $f$의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $c=\frac{p}{q}f$임을 보여야 한다.

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$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$가 $c$의 부분이고 어떤 수 $m$, $n$에 대하여 $c=\frac{m}{n}\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이든지 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}\ne \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$인 수 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$는 $f$의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 $m$, $n$에 대하여 $f=\frac{m}{n}\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$이다.

수 $\frac{c}{n}$의 크기로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$를 $m$개로 나눌 수 있고 그것을 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{B}}$라 하자. 그리고 수 $\frac{d}{n}$의 크기로 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$를 이전과 같은 $m$개로 나눌 수 있고 그것을 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{E}}$라 하자. 그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{B}}$와 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{E}}$의 개수는 $m$개로 같다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$는 $c$의 약수이고 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\frac{c}{n}$이든지 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}$는 $f$의 약수이고 이전과 같은 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}=\frac{f}{n}$이다. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$가 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}$이든지 $c$는 $f$의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $c=\frac{p}{q}f$이다. [VII권 명제 9]

같은 이유로 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{B}}$가 $\overline{\mathrm{H}\mathrm{E}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{B}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{H}\mathrm{E}}$이든지 $c$는 $f$의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $c=\frac{p}{q}f$이다. 이들을 변변끼리 더하자. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{B}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}+\frac{p}{q}\overline{\mathrm{H}\mathrm{E}}=\frac{p}{q}(\overline{\mathrm{D}\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{H}\mathrm{E}})=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$이든지 $c$는 $f$의 부분이고 이전 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $c=\frac{p}{q}f$이다. [VII권 명제 9, 명제 5, 명제 6]

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그러므로 어떤 수가 어떤 수의 부분이라 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 이전과 같은 부분이라고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 첫째 수가 셋째 수에 어떤 부분이 되든지 둘째 수가 넷째 수에 해하여 이전과 같은 부분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 대수적으로 다음과 같다.

$a=\frac{m}{n}b$, $d=\frac{m}{n}e$에 대하여, $a=\frac{p}{q}d$이면 $b=\frac{p}{q}e$이다.

이 명제는 $\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$으로 증명되었다.

이 명제는 [VII권 명제 13]에서 사용된다.