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증명
수 \(\overline{\rm AB}\)가 수 \(c\)의 부분이고 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac mn c\)라 하자.
\(\overline{\rm DE}\ne \overline{\rm AB}\)인 수 \(\overline{\rm DE}\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(m\), \(n\)에
대하여 \(\overline{\rm DE}=\frac mn f\)이다.
그러면 바꾼 비례식에 의해서, \(\overline{\rm AB}\)가 \(\overline{\rm DE}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여
\(\overline{\rm AB}=\frac pq\overline{\rm DE}\)이든지 \(c\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여
\(c=\frac pq f\)임을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AB}\)가 \(c\)의 부분이고 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(c=\frac mn\overline{\rm AB}\)이든지 \(\overline{\rm
DE}\ne\overline{\rm AB}\)인 수 \(\overline{\rm DE}\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(f=\frac
mn\overline{\rm DE}\)이다.
수 \(\frac cn\)의 크기로 \(\overline{\rm AB}\)를 \(m\)개로 나눌 수 있고 그것을 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm
GB}\)라 하자. 그리고 수 \(\frac dn\)의 크기로 \(\overline{\rm DE}\)를 이전과 같은 \(m\)개로 나눌 수 있고 그것을
\(\overline{\rm DH}\), \(\overline{\rm HE}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GB}\)와 \(\overline{\rm
DH}\), \(\overline{\rm HE}\)의 개수는 \(m\)개로 같다.
\(\overline{\rm AG}\)는 \(c\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm AG}=\frac cn\)이든지 \(\overline{\rm DH}\)는
\(f\)의 약수이고 이전과 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm DH}=\frac fn\)이다. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서,
\(\overline{\rm AG}\)가 \(\overline{\rm DH}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm AG}=\frac
pq\overline{\rm DH}\)이든지 \(c\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(c=\frac pq f\)이다. [VII권
명제 9]
같은 이유로 \(\overline{\rm GB}\)가 \(\overline{\rm HE}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm GB}=\frac
pq\overline{\rm HE}\)이든지 \(c\)는 \(f\)의 부분이고 이전과 같은 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(c=\frac pq f\)이다. 이들을
변변끼리 더하자. \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AG}+\overline{\rm GB}=\frac pq\overline{\rm DH}+\frac pq\overline{\rm
HE}=\frac pq\left(\overline{\rm DH}+\overline{\rm HE}\right)=\frac pq\overline{\rm DE}\)이므로 \(\overline{\rm AB}\)는
\(\overline{\rm DE}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=\frac pq\overline{\rm DE}\)이든지 \(c\)는
\(f\)의 부분이고 이전 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(c=\frac pq f\)이다. [VII권 명제 9, 명제 5, 명제 6]
그러므로 어떤 수가 어떤 수의 부분이라 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 이전과 같은 부분이라고 하자. 그러면 바꾼 비례식에
의해서 첫째 수가 셋째 수에 어떤 부분이 되든지 둘째 수가 넷째 수에 해하여 이전과 같은 부분이다.
Q.E.D.
